Вариант 1 Самостоятельная работа 25 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Задача

Сочетания
1. Упростите выражение 14/(n+10)·C(n+10, n+8).
2. Решите в натуральных числах уравнение A(x+2, 2)+C(x+4, x+2)=78.
3. В классе есть 14 девочек и 16 мальчиков. Сколькими способами можно сформировать команду из 3 девочек и 4 мальчиков для участия в спортивных соревнованиях?
4. Есть 18 шаров, пронумерованных числами от 1 до 18. Сколькими способами можно составить набор из 7 шаров, если шары с номерами 8 и 12 не могут одновременно входить в набор?

Подробный ответ

$$\frac{14}{n+10}\cdot C_{n+10}^{n+8}=\frac{14}{n+10}\cdot \frac{(n+10)!}{(n+8)!\cdot 2!}$$
$$=\frac{14}{n+10}\cdot \frac{(n+10)(n+9)}{2}=7(n+9).$$
$$A_{x+2}^{2}+C_{x+4}^{x+2}=78$$
$$\frac{(x+2)!}{x!}+\frac{(x+4)!}{(x+2)!\cdot 2!}=78$$
$$ (x+2)(x+1)+\frac{(x+4)(x+3)}{2}=78$$
Умножим на $$2$$:
$$2(x+2)(x+1)+(x+4)(x+3)=156$$
$$2x^2+6x+4+x^2+7x+12=156$$
$$3x^2+13x-140=0$$
$$D=13^2-4\cdot 3\cdot (-140)=169+1680=1849=43^2$$
$$x=\frac{-13\pm 43}{6}$$
$$x_1=5,\quad x_2=-\frac{28}{3}$$
Так как $$x$$ — натуральное число, подходит только $$x=5$$.
Число способов выбрать 3 девочек из 14 и 4 мальчиков из 16:
$$N=C_{14}^{3}\cdot C_{16}^{4}$$
$$N=\frac{14!}{11!\cdot 3!}\cdot \frac{16!}{12!\cdot 4!}$$
$$N=364\cdot 1820=662480.$$
Всего способов выбрать 7 шаров из 18:
$$C_{18}^{7}$$
Нужно исключить наборы, в которые одновременно входят шары с номерами 8 и 12. Тогда остаётся выбрать ещё 5 шаров из остальных 16:
$$C_{16}^{5}$$
Искомое число способов:
$$C_{18}^{7}-C_{16}^{5}$$
$$C_{18}^{7}=31824,\quad C_{16}^{5}=4368$$
$$31824-4368=27456.$$