Вариант 1 Самостоятельная работа 24 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Размещения
1. В первенстве города по баскетболу участвуют 11 команд. Сколькими способами могут распределиться первое, второе и третье места?
2. Решите в натуральных числах уравнение:
1) A(x+3, 2)=110; 2) P(x+4)/(A(x+1, 3)·P(x-2))=504.
3. Сколько различных пятизначных чисел можно записать с помощью цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 так, чтобы цифры не повторялись, а первая и четвёртая цифры были чётными?

1. Количество способов распределить первое, второе и третье места среди 11 команд равно числу размещений:
   $$A_{11}^3=\frac{11!}{8!}=11\cdot 10\cdot 9=990.$$
2. 1. $$A_{x+3}^2=110,$$
      $$\frac{(x+3)!}{(x+1)!}=110,$$
      $$(x+3)(x+2)=110,$$
      $$x^2+5x-104=0.$$
      $$D=5^2-4\cdot 1\cdot(-104)=25+416=441,$$
      $$x_{1,2}=\frac{-5\pm 21}{2}.$$
      Получаем $$x_1=8,\; x_2=-13.$$
      Так как число натуральное, подходит только $$x=8.$$
   2. $$\frac{P_{x+4}}{A_{x+1}^3\cdot P_{x-2}}=504,$$
      $$\frac{(x+4)!}{(x+1)!}\cdot \frac{(x-2)!}{(x-2)!}=504,$$
      $$(x+4)(x+3)(x+2)=504.$$
      Проверим натуральные значения: при $$x=5$$
      $$5\cdot 6\cdot 7=210,$$
      а в исходном преобразовании получаем
      $$x^3+9x^2+26x+24=504,$$
      $$x^3+9x^2+26x=480.$$
      Подходит $$x=5$$, так как
      $$5^3+9\cdot 5^2+26\cdot 5=125+225+130=480.$$
3. Чётные цифры из набора $$\{1,2,3,4,5,6,7\}$$ — это $$2,4,6$$.
   Первую и четвёртую позиции можно заполнить чётными цифрами:
   $$3\cdot 2=6$$ способов.
   Оставшиеся три места заполняем тремя различными цифрами из оставшихся пяти:
   $$A_5^3=5\cdot 4\cdot 3=60.$$
   Тогда
   $$N=6\cdot 60=360.$$

Ответ

1) 990; 2) 8, 5; 3) 360.