Вариант 1 Самостоятельная работа 23 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Основные правила комбинаторики. Перестановки
1. Сколькими способами можно распределить 12 карандашей между 12 учениками?
2. Сколько шестизначных чисел можно записать с помощью цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6?
3. Сколько нечётных четырёхзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4 так, чтобы в каждом числе цифры были различными?
4. У Саши есть 5 книг по истории, 6 книг по биологии и 3 книги по математике. Сколькими способами он может расставить эти книги на полке так, чтобы книги по одному предмету стояли рядом?

1. Распределить 12 разных карандашей между 12 учениками можно числом перестановок:
   $$P_{12}=12\cdot 11\cdot 10\cdot 9\cdot 8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=479001600.$$
2. Шестизначное число составляем из цифр $$0,1,2,3,4,5,6$$ без повторений. Первая цифра не может быть нулём, поэтому:
   $$6\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2=4320.$$
3. Нечётное четырёхзначное число из цифр $$1,2,3,4$$ без повторений должно оканчиваться на $$1$$ или $$3$$.
   Для последней цифры — $$2$$ варианта, для остальных трёх мест — перестановки оставшихся трёх цифр:
   $$2\cdot P_3=2\cdot 3\cdot 2\cdot 1=12.$$
4. Книги по одному предмету должны стоять рядом, значит рассматриваем три блока: история, биология, математика.
   Эти блоки можно переставить $$3!$$ способами, а внутри блоков книги можно переставить так:
   $$5!\cdot 6!\cdot 3!.$$
   Тогда
   $$3!\cdot 5!\cdot 6!\cdot 3!=6\cdot 120\cdot 720\cdot 6=3110400.$$

Ответ

1) $$479001600$$; 2) $$4320$$; 3) $$12$$; 4) $$3110400$$.