Вариант 1 Самостоятельная работа 22 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)
Метод математической индукции
1. Докажите методом математической индукции, что при любом натуральном n выполняется равенство
1+5+9+…+4n-3=n(2n-1).
2. Докажите неравенство 4^n > 3n+2, где n?N, n?2.
3. Докажите, что для любого натурального n значение выражения (21^n+50·4^n) кратно 17.
Докажем по индукции равенство
$$1+5+9+\dots+(4n-3)=n(2n-1).$$
База индукции: при $$n=1$$ имеем
$$1=1\cdot(2\cdot1-1).$$
Равенство верно.
Индукционный переход: пусть для некоторого $$n=k$$ верно
$$1+5+9+\dots+(4k-3)=k(2k-1).$$
Докажем для $$n=k+1$$:
$$ 1+5+9+\dots+(4k-3)+(4(k+1)-3) $$
$$ =k(2k-1)+4k+1 $$
$$ =2k^2-k+4k+1 $$
$$ =2k^2+3k+1 $$
$$ =(k+1)(2k+1) $$
$$ =(k+1)\bigl(2(k+1)-1\bigr). $$Следовательно, равенство верно при любом натуральном $$n$$.
Докажем неравенство
$$4^n>3n+2,\quad n\in\mathbb N,\ n\ge 2.$$
База индукции: при $$n=2$$
$$4^2=16>8=3\cdot2+2.$$
Индукционный переход: пусть при $$n=k$$ выполняется
$$4^k>3k+2.$$
Тогда при $$n=k+1$$
$$ 4^{k+1}=4\cdot4^k>4(3k+2)=12k+8. $$
Сравним:
$$12k+8-(3(k+1)+2)=12k+8-(3k+5)=9k+3>0.$$
Значит,
$$4^{k+1}>3(k+1)+2.$$
Неравенство доказано.
Докажем, что число
$$21^n+50\cdot4^n$$
кратно $$17$$ при любом натуральном $$n$$.
База индукции: при $$n=1$$
$$21+50\cdot4=221=17\cdot13.$$
Число кратно $$17$$.
Индукционный переход: пусть при $$n=k$$ выражение кратно $$17$$, то есть
$$21^k+50\cdot4^k=17m$$
для некоторого целого $$m$$. Тогда
$$ 21^{k+1}+50\cdot4^{k+1} =21\cdot21^k+50\cdot4\cdot4^k $$
$$ =21(21^k+50\cdot4^k)-50\cdot4^k\cdot(21-4) $$
$$ =21(21^k+50\cdot4^k)-17\cdot50\cdot4^k. $$Оба слагаемых справа кратны $$17$$, значит, и всё выражение кратно $$17$$.
Следовательно, $$21^n+50\cdot4^n$$ делится на $$17$$ при любом натуральном $$n$$.
Ответ
1) $$1+5+9+\dots+(4n-3)=n(2n-1)$$ при любом $$n\in\mathbb N$$.
2) $$4^n>3n+2$$ при всех $$n\in\mathbb N,\ n\ge 2$$.
3) $$21^n+50\cdot4^n$$ кратно $$17$$ при любом $$n\in\mathbb N$$.
