Вариант 1 Самостоятельная работа 2 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Возрастание и убывание функции. Наибольшее и наименьшее значения функции
1. На рисунке 1 изображён график функции y=f(x), определённой на множестве действительных чисел. Используя график, найдите:
1) нули функции;
2) при каких значениях аргумента значения функции положительные;
3) промежутки возрастания и промежутки убывания функции;
4) min(R, f(x)); max(R, f(x));
5) min([3; 4], f(x)); max([3; 4], f(x)).
2. Докажите, что функция f(x)=4/(x-1) убывает на промежутке (1; +?).
3. Найдите min(D(f), f(x)) и max(D(f), f(x)), если f(x)=3-v(1-x^2).
4. Возрастающая функция f определена на множестве R. Возрастающей или убывающей является функция f(g(x)). если g(x)=3-2x?
5. Решите уравнение x^3+2v(2x+5)=14.

1. По графику получаем:

   1) нули функции: $$x=0$$ и $$x=4$$;

   2) $$f(x)>0$$ при $$0<x<4$$;

   3) функция возрастает на $$(-\infty; 2]$$ и убывает на $$[2; +\infty)$$;

   4) $$\min_{\mathbb{R}} f(x)$$ не существует, $$\max_{\mathbb{R}} f(x)=4$$;

   5) $$\min_{[3;4]} f(x)=0$$, $$\max_{[3;4]} f(x)=3$$.

2. Рассмотрим функцию $$f(x)=\dfrac{4}{x-1}$$, $$x\in(1;+\infty)$$.

   Если $$x_2>x_1>1$$, то $$x_2-1>x_1-1>0$$, значит

   $$\dfrac{1}{x_2-1}<\dfrac{1}{x_1-1}$$

   и тогда
   $$\dfrac{4}{x_2-1}<\dfrac{4}{x_1-1}.$$

   Следовательно, функция убывает на промежутке $$ (1;+\infty) $$.

3. $$f(x)=3-\sqrt{1-x^2}$$.

   Так как $$x^2\ge 0$$ и $$x^2\le 1$$ на области определения, то

   $$0\le \sqrt{1-x^2}\le 1.$$

   Тогда

   $$2\le 3-\sqrt{1-x^2}\le 3.$$

   Значит, $$\min_{D(f)} f(x)=2$$, $$\max_{D(f)} f(x)=3$$.

4. Функция $$f$$ возрастает, а $$g(x)=3-2x$$ убывает, так как при $$x_2>x_1$$ имеем

   $$3-2x_2<3-2x_1.$$

   Следовательно, композиция $$f(g(x))$$ убывает.

5. Решим уравнение

   $$x^3+2\sqrt{2x+5}=14.$$

   Проверим значение $$x=2$$:

   $$2^3+2\sqrt{2\cdot 2+5}=8+2\sqrt{9}=8+6=14.$$

   Значит, $$x=2$$ — корень уравнения. Так как левая часть при $$x\ge -\dfrac52$$ является суммой возрастающих функций, уравнение имеет единственное решение.

Ответ

1) $$x=0,\; x=4$$; $$f(x)>0$$ при $$0<x<4$$; возрастает на $$(-\infty;2]$$, убывает на $$[2;+\infty)$$; $$\min_{\mathbb{R}} f(x)$$ не существует, $$\max_{\mathbb{R}} f(x)=4$$; $$\min_{[3;4]} f(x)=0$$, $$\max_{[3;4]} f(x)=3$$.
2) Убывает на $$ (1;+\infty) $$.
3) $$\min_{D(f)} f(x)=2$$, $$\max_{D(f)} f(x)=3$$.
4) Убывает.
5) $$x=2$$.