Вариант 1 Контрольная работа 2 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Задача

Решение квадратных неравенств. Решение неравенств методом интервалов. Расположение нулей квадратичной функции относительно дайной точки
1. Решите неравенство:
1) 9x^2-10x+1?0;
2) 16x^2-8x+1?0;
3) -3x^2+2x-7 < 0. 2. Найдите область определения функции f(x)=v(14+5x-x^2)/(x^2+x-6). 3. Решите систему неравенств {x^2-2x+3 > 0, |x-1|?4}.
4. Решите неравенство:
1) (x+11)(x-3)(x+4) < 0; 2) (x+1)(5-x)(x+4)^2?0; 3) x/(x+1)-3/(x-3)+(6x-1)/(x^2-2x-3)?0. 5. Решите неравенство: 1) |x^2+3x+1| < 2x+3; 2) |x^2+2x-10| > 4-3x.
6. При каких значениях параметра a все корни уравнения x^2-4ax+4a^2-a-10=0 меньше 1?

Подробный ответ

$$9x^2-10x+1\ge 0$$
$$D=(-10)^2-4\cdot 9\cdot 1=64$$
$$x_{1,2}=\frac{10\pm 8}{18}$$
$$x_1=\frac19,\quad x_2=1$$
Так как ветви параболы направлены вверх, то
$$9x^2-10x+1\ge 0 \iff x\in(-\infty;\tfrac19]\cup[1;+\infty)$$
$$16x^2-8x+1\le 0$$
$$16x^2-8x+1=(4x-1)^2$$
Квадрат неотрицателен, значит
$$ (4x-1)^2\le 0 \iff 4x-1=0 \iff x=\frac14 $$
$$-3x^2+2x-7<0$$
$$3x^2-2x+7>0$$
$$D=(-2)^2-4\cdot 3\cdot 7=4-84=-80<0$$
При $D<0$ и $a>0$ квадратный трёхчлен всегда положителен, значит неравенство верно при всех $x$.
$$x\in(-\infty;+\infty)$$
$$f(x)=\frac{\sqrt{14+5x-x^2}}{x^2+x-6}$$
Для области определения нужно:
$$x^2+x-6\ne 0$$
$$14+5x-x^2\ge 0$$
1) $$x^2+x-6=(x+3)(x-2)\ne 0 \Rightarrow x\ne -3,\; x\ne 2$$
2) $$14+5x-x^2\ge 0 \iff x^2-5x-14\le 0$$
$$x^2-5x-14=(x+2)(x-7)$$
$$ (x+2)(x-7)\le 0 \iff x\in[-2;7] $$
Итак,
$$D(f)=[-2;2)\cup(2;7]$$
$$\begin{cases} x^2-2x+3>0,\\ |x-1|\le 4 \end{cases}$$
Первое неравенство выполняется при всех $x$, так как
$$D=(-2)^2-4\cdot 1\cdot 3=-8<0$$
Второе неравенство:
$$|x-1|\le 4 \iff -4\le x-1\le 4$$
$$-3\le x\le 5$$
Следовательно,
$$x\in[-3;5]$$
$$ (x+11)(x-3)(x+4)<0 $$
Нули: $$x=-11,\,-4,\,3$$.
По методу интервалов получаем
$$x\in(-\infty;-11)\cup(-4;3)$$
$$ (x+1)(5-x)(x+4)^2\ge 0 $$
Так как $$ (x+4)^2\ge 0 $$, то знак выражения определяется множителем $$ (x+1)(5-x) $$, а также точкой $$x=-4$$, где произведение равно нулю.
$$ (x+1)(5-x)\ge 0 \iff -1\le x\le 5 $$
Итак,
$$x\in\{-4\}\cup[-1;5]$$
$$\frac{x}{x+1}-\frac{3}{x-3}+\frac{6x-1}{x^2-2x-3}\ge 0$$
$$x^2-2x-3=(x+1)(x-3)$$
ОДЗ: $$x\ne -1,\; x\ne 3$$
Приведём к общему знаменателю:
$$\frac{x(x-3)-3(x+1)+(6x-1)}{(x+1)(x-3)}\ge 0$$
$$\frac{x^2-3x-3x-3+6x-1}{(x+1)(x-3)}\ge 0$$
$$\frac{x^2-4}{(x+1)(x-3)}\ge 0$$
$$\frac{(x-2)(x+2)}{(x+1)(x-3)}\ge 0$$
По методу интервалов:
$$x\in(-\infty;-2]\cup(-1;2]\cup(3;+\infty)$$
$$|x^2+3x+1|<2x+3$$
Правая часть должна быть положительной:
$$2x+3>0 \Rightarrow x>-\frac32$$
Решаем систему:
$$ \begin{cases} x^2+3x+1<2x+3,\\ x^2+3x+1>-(2x+3) \end{cases} $$
$$x^2+x-2<0 \iff (x+2)(x-1)<0 \iff -2<x<1$$
$$x^2+5x+4>0 \iff (x+1)(x+4)>0 \iff x<-4 \text{ или } x>-1$$
С учётом $$x>-\frac32$$ получаем
$$x\in(-1;1)$$
$$|x^2+2x-10|>4-3x$$
Если $$4-3x<0$$, то неравенство верно при всех таких $x$:
$$x>\frac43$$
Если $$4-3x\ge 0$$, то
$$ \begin{cases} x^2+2x-10>4-3x,\\ x^2+2x-10<-4+3x \end{cases} $$
1) $$x^2+5x-14>0 \iff (x+7)(x-2)>0 \iff x<-7 \text{ или } x>2$$
2) $$x^2-x-6<0 \iff (x-3)(x+2)<0 \iff -2<x<3$$
С учётом условия $$x\le \frac43$$ получаем
$$x\in(-\infty;-7)\cup(-2;+\infty)$$
$$x^2-4ax+4a^2-a-10=0$$
Найдём корни:
$$D=(4a)^2-4(4a^2-a-10)=16a^2-16a^2+4a+40=4(a+10)$$
$$x_{1,2}=\frac{4a\pm 2\sqrt{a+10}}{2}=2a\pm \sqrt{a+10}$$
Чтобы оба корня были меньше $1$, достаточно и необходимо, чтобы больший корень удовлетворял условию
$$2a+\sqrt{a+10}<1$$
Область определения:
$$a+10\ge 0 \Rightarrow a\ge -10$$
Преобразуем неравенство:
$$\sqrt{a+10}<1-2a$$
Правая часть должна быть положительной:
$$1-2a>0 \Rightarrow a<\frac12$$
Возводим в квадрат:
$$a+10<(1-2a)^2$$
$$a+10<1-4a+4a^2$$
$$4a^2-5a-9>0$$
$$4a^2-5a-9=(a+1)(4a-9)$$
$$ (a+1)(4a-9)>0 \iff a<-1 \text{ или } a>\frac94 $$
С учётом $$-10\le a<\frac12$$ получаем
$$a\in[-10;-1)$$