Вариант 1 Самостоятельная работа 19 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Математическое моделирование
1. Из двух городов, расстояние между которыми равно 300 км, выехали одновременно навстречу друг другу легковой и грузовой автомобили, которые встретились через 2 ч 30 мин. Найдите скорость каждого автомобиля, если грузовик потратил на путь из одного города в другой на 3 ч 45 мин больше, чем легковой автомобиль.
2. Если открыть одновременно две трубы, то бассейн будет наполнен водой за 2 ч 24 мин. Если сначала через первую трубу наполнить 1/3 бассейна, а потом через вторую трубу — оставшуюся часть бассейна, то весь бассейн будет наполнен за 6 ч. За сколько часов можно наполнить бассейн через каждую трубу отдельно?
3. В двух сплавах массы меди и цинка относятся как 2:3 и 1:4 соответственно. Сколько килограммов первого сплава и сколько килограммов второго надо взять, чтобы, переплавив их, получить 40 кг нового сплава, в котором массы меди и цинка относятся как 1:3?

1. Пусть $$x$$ км/ч — скорость легкового автомобиля, $$y$$ км/ч — скорость грузового.

   Тогда за $$2{,}5$$ ч они вместе проехали $$300$$ км:

   $$2{,}5(x+y)=300,$$

   откуда

   $$x+y=120.$$

   Время движения легкового автомобиля равно $$\frac{300}{x}$$, грузового — $$\frac{300}{y}$$. По условию грузовик затратил на $$3\text{ ч }45\text{ мин}=\frac{15}{4}$$ ч больше:

   $$\frac{300}{y}-\frac{300}{x}=\frac{15}{4}.$$

   Подставим $$y=120-x$$:

   $$\frac{300}{120-x}-\frac{300}{x}=\frac{15}{4}.$$

   Умножим на $$4x(120-x)$$:

   $$1200x-1200(120-x)=15x(120-x),$$

   $$80x-80(120-x)=x(120-x),$$

   $$x^2+40x-9600=0.$$

   $$D=40^2+4\cdot 9600=40000,$$

   $$x=\frac{-40\pm 200}{2}.$$

   Получаем $$x=80$$ или $$x=-120$$. Отрицательное значение не подходит, значит $$x=80$$.

   Тогда

   $$y=120-80=40.$$

2. Пусть $$x$$ ч — время наполнения бассейна через первую трубу, $$y$$ ч — через вторую.

   Если открыть обе трубы одновременно, бассейн наполнится за $$2\text{ ч }24\text{ мин}=\frac{12}{5}$$ ч, значит

   $$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{5}{12}.$$

   Если сначала через первую трубу наполнить $$\frac{1}{3}$$ бассейна, а затем через вторую — оставшиеся $$\frac{2}{3}$$, то

   $$\frac{x}{3}+\frac{2y}{3}=6,$$

   $$x+2y=18,$$

   $$x=18-2y.$$

   Подставим в первое уравнение:

   $$\frac{1}{18-2y}+\frac{1}{y}=\frac{5}{12}.$$

   Умножим на $$12y(18-2y)$$:

   $$12y+12(18-2y)=5y(18-2y),$$

   $$10y^2-51y+108=0.$$

   $$D=51^2-4\cdot 10\cdot 108=441,$$

   $$y=\frac{51\pm 21}{20}.$$

   Получаем $$y=3$$ или $$y=3{,}6.$$

   Тогда

   $$x=18-2y,$$

   $$x=12$$ или $$x=10{,}8.$$

   Проверим по смыслу: при $$y=3{,}6$$ получаем $$x=10{,}8$$, а при $$y=3$$ — $$x=12$$. Оба значения подходят.

3. Пусть $$x$$ кг — масса первого сплава, $$y$$ кг — масса второго.

   Тогда

   $$x+y=40,$$

   $$y=40-x.$$

   В первом сплаве меди $$\frac{2}{5}x$$, во втором — $$\frac{1}{5}y$$. В новом сплаве меди должно быть $$\frac{1}{4}\cdot 40=10$$ кг, значит

   $$\frac{2}{5}x+\frac{1}{5}y=10.$$

   Подставим $$y=40-x$$:

   $$\frac{2}{5}x+\frac{1}{5}(40-x)=10,$$

   $$\frac{1}{5}x+8=10,$$

   $$x=10.$$

   Тогда

   $$y=40-10=30.$$

Ответ

1) $$80$$ км/ч и $$40$$ км/ч; 2) $$12$$ ч и $$3$$ ч $$36$$ мин; $$10{,}8$$ ч и $$3{,}6$$ ч; 3) $$10$$ кг и $$30$$ кг.