Вариант 1 Самостоятельная работа 18 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Неравенства между средними величинами. Неравенство Коши-Буняковского
1. Для положительных чисел а и b докажите неравенство a/(12b)+27b/a?3.
2. При x > 2 докажите неравенство x+1/(x-2)?4.
3. Известно, что a^2+b^2=12, c^2+d^2=3. Докажите, что |ac+bd|?6.
4. Известно, что x+y=1. Докажите, что v(x^2+9y^2)+v(y^2+9x^2)?2v2.

1. Применим неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим:

   $$\frac{a}{12b}+\frac{27b}{a}\ge 2\sqrt{\frac{a}{12b}\cdot\frac{27b}{a}}.$$

   Тогда

   $$\frac{a}{12b}+\frac{27b}{a}\ge 2\sqrt{\frac{27}{12}}=2\sqrt{\frac{9}{4}}=3.$$

2. Так как $$x>2,$$ то $$x-2>0.$$ Применим неравенство AM-GM:

   $$x-2+\frac{1}{x-2}\ge 2\sqrt{(x-2)\cdot \frac{1}{x-2}}=2.$$

   Следовательно,

   $$x-2+\frac{1}{x-2}\ge 2.$$

3. По неравенству Коши-Буняковского:

   $$|ac+bd|\le \sqrt{a^2+b^2}\cdot \sqrt{c^2+d^2}.$$

   Подставим данные:

   $$|ac+bd|\le \sqrt{12}\cdot \sqrt{3}=\sqrt{36}=6.$$

4. Применим неравенство $$\sqrt{u}+\sqrt{v}\ge \sqrt{(\sqrt{u}+\sqrt{v})^2}$$ в виде оценки через сумму подкоренных выражений:

   $$\sqrt{x^2+9y^2}+\sqrt{y^2+9x^2}\ge \frac{x+3y}{\sqrt{2}}+\frac{y+3x}{\sqrt{2}}.$$

   Тогда

   $$\frac{x+3y}{\sqrt{2}}+\frac{y+3x}{\sqrt{2}}=\frac{4(x+y)}{\sqrt{2}}.$$

   Так как $$x+y=1,$$ получаем

   $$\frac{4(x+y)}{\sqrt{2}}=\frac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}.$$

Ответ

1. $$\frac{a}{12b}+\frac{27b}{a}\ge 3$$
2. $$x-2+\frac{1}{x-2}\ge 2$$
3. $$|ac+bd|\le 6$$
4. $$\sqrt{x^2+9y^2}+\sqrt{y^2+9x^2}\ge 2\sqrt{2}$$