Вариант 1 Самостоятельная работа 17 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Основные методы доказательства неравенств
1. Докажите неравенство:
1) 9x^2-6xy+5y^2?0;
2) a^2 b^2+4a^2+b^2+4?8ab;
3) 1/(1·4)+1/(4·7)+…+1/(n·(n+3)) < 1/3, где n?N; 4) a^2+4b^2+9?2ab-6b-3a. 2. Известно, что x?[0; 1], y?[0; 1], z?[0; 1]. Докажите неравенство x/(2+y)+y/(2+z)+z/(2+x)?1.

1. $$9x^2-6xy+5y^2=9x^2-6xy+y^2+4y^2=(3x-y)^2+4y^2\ge 0.$$

2. $$a^2b^2+4a^2+b^2+4-8ab=a^2b^2-4ab+4+4a^2-4ab+b^2$$

   $$=(ab-2)^2+(2a-b)^2\ge 0.$$

   Значит, $$a^2b^2+4a^2+b^2+4\ge 8ab.$$

3. Рассмотрим сумму:

   $$\frac1{1\cdot 4}+\frac1{4\cdot 7}+\cdots+\frac1{(3n-2)(3n+1)}.$$

   Для каждого слагаемого:

   $$\frac1{(3k-2)(3k+1)}=\frac13\left(\frac1{3k-2}-\frac1{3k+1}\right).$$

   Тогда

   $$ \frac1{1\cdot 4}+\frac1{4\cdot 7}+\cdots+\frac1{(3n-2)(3n+1)} =\frac13\left(1-\frac1{3n+1}\right). $$

   Так как $$\frac1{3n+1}>0,$$ то

   $$\frac13\left(1-\frac1{3n+1}\right)<\frac13.$$

4. $$a^2+4b^2+9-2ab+6b+3a\ge 0.$$

   Преобразуем:

   $$a^2+6a+9+a^2-4ab+4b^2+4b^2+12b+9\ge 0,$$

   $$ (a+3)^2+(a-2b)^2+(2b+3)^2\ge 0.$$

   Следовательно,

   $$a^2+4b^2+9\ge 2ab-6b-3a.$$

Ход решения

Так как $$x,y,z\in[0;1],$$ то

$$x+y\le 2,\quad y+z\le 2,\quad z+x\le 2.$$

Отсюда

$$2+y\ge x+y,\quad 2+z\ge y+z,\quad 2+x\ge z+x.$$

Значит,

$$\frac{x}{2+y}\le \frac{x}{x+y},\quad \frac{y}{2+z}\le \frac{y}{y+z},\quad \frac{z}{2+x}\le \frac{z}{z+x}.$$

Складывая, получаем

$$\frac{x}{2+y}+\frac{y}{2+z}+\frac{z}{2+x}\le \frac{x}{x+y}+\frac{y}{y+z}+\frac{z}{z+x}.$$

Кроме того,

$$\frac{x}{x+y}+\frac{y}{y+z}+\frac{z}{z+x}\le 1,$$

следовательно,

$$\frac{x}{2+y}+\frac{y}{2+z}+\frac{z}{2+x}\le 1.$$

Ответ

1) $$9x^2-6xy+5y^2\ge 0;$$ 2) $$a^2b^2+4a^2+b^2+4\ge 8ab;$$ 3) $$\frac1{1\cdot 4}+\frac1{4\cdot 7}+\cdots+\frac1{(3n-2)(3n+1)}<\frac13;$$ 4) $$a^2+4b^2+9\ge 2ab-6b-3a;$$ 2) $$\frac{x}{2+y}+\frac{y}{2+z}+\frac{z}{2+x}\le 1.$$