Вариант 1 Самостоятельная работа 16 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)
Системы неравенств с двумя переменными
1. Изобразите на координатной плоскости ху множество решений системы неравенств {x^2+y^2?5, xy < 2}.
2. Изобразите график неравенства:
1) |x-2y| < 4; 2) v(2x+y) < v(3x-y-1).
3. Изобразите на координатной плоскости ху множество точек, координаты которых удовлетворяют условию max{3x, 2}=y+1.
Рассмотрим систему
$$ \begin{cases} x^2+y^2\le 5,\\ xy<2. \end{cases} $$
Первое неравенство задаёт круг с центром в начале координат и радиусом $$\sqrt{5}$$.
Второе неравенство равносильно
$$ y<\frac{2}{x}\quad \text{при } x>0,\qquad y>\frac{2}{x}\quad \text{при } x<0. $$
Искомое множество — пересечение круга $$x^2+y^2\le 5$$ с областью, лежащей ниже гиперболы в I четверти и выше гиперболы в III четверти.
1) $$|x-2y|<4$$
$$ -4<x-2y<4 $$
$$ -x-4<-2y<-x+4 $$
$$ \frac12x-2<y<\frac12x+2 $$
Это полоса между прямыми $$y=\frac12x-2$$ и $$y=\frac12x+2$$ без самих границ.
2) $$\sqrt{2x+y}<\sqrt{3x-y-1}$$
Так как обе части неотрицательны, возводим в квадрат при выполнении области определения:
$$ \begin{cases} 2x+y\ge 0,\\ 3x-y-1\ge 0,\\ 2x+y<3x-y-1. \end{cases} $$
Из последнего неравенства получаем
$$ 2y<x-1,\qquad y<\frac12x-\frac12. $$
Итак, нужно изобразить пересечение полуплоскостей
$$ y\ge -2x,\qquad y\le 3x-1,\qquad y<\frac12x-\frac12. $$
Рассмотрим уравнение
$$ \max\{3x,2\}=y+1. $$
Если $$3x\ge 2$$, то $$\max\{3x,2\}=3x$$, значит
$$ y=3x-1. $$
Если $$3x<2$$, то $$\max\{3x,2\}=2$$, значит
$$ y=1. $$
Следовательно, график состоит из двух частей:
$$ y=1,\quad x\le \frac23; $$
$$ y=3x-1,\quad x\ge \frac23. $$
Обе части соединяются в точке $$\left(\frac23,1\right)$$.
Ответ
1) Пересечение круга $$x^2+y^2\le 5$$ с областью $$xy<2$$.
2) 1) $$\frac12x-2<y<\frac12x+2$$; 2) $$y\ge -2x,\ y\le 3x-1,\ y<\frac12x-\frac12$$.
3) $$y=1$$ при $$x\le \frac23$$ и $$y=3x-1$$ при $$x\ge \frac23$$.
