Вариант 1 Самостоятельная работа 15 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Неравенства с двумя переменными
Постройте график неравенства:
1) y?x^2-3x+2; 3) (x+2y-1)(x-y+2) > 0;
2) xy < 3; 4) (y+2x^2)/|y+2| > 0.

1. $$y \ge x^2-3x+2.$$

   Приведём квадратный трёхчлен к вершине параболы:

   $$ x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{-3}{2\cdot 1}=\frac{3}{2}, $$
   $$ y_0=\left(\frac{3}{2}\right)^2-3\cdot \frac{3}{2}+2=\frac{9}{4}-\frac{9}{2}+2=-\frac{1}{4}. $$

   Граница — парабола $$y=x^2-3x+2$$, ветви направлены вверх. Так как знак неравенства $$\ge$$, берём саму параболу и область выше неё.

2. $$xy<3.$$

   Если $$x>0$$, то

   $$y<\frac{3}{x}.$$

   Если $$x<0$$, то при делении на отрицательное число знак неравенства меняется:

   $$y>\frac{3}{x}.$$

   Граница — гипербола $$xy=3$$, она не входит в решение.

3. $$\left(x+2y-1\right)\left(x-y+2\right)>0.$$

   Произведение положительно, когда оба множителя одного знака:

   $$ \begin{cases} x+2y-1>0,\\ x-y+2>0 \end{cases} \quad \text{или} \quad \begin{cases} x+2y-1<0,\\ x-y+2<0 \end{cases} $$

   Из первого случая получаем:

   $$ y>\frac{1-x}{2}, \qquad y<x+2. $$

   Из второго случая:

   $$ y<\frac{1-x}{2}, \qquad y>x+2. $$

   Итак, решение — объединение двух областей между прямыми $$y=\frac{1-x}{2}$$ и $$y=x+2$$, без самих прямых.

4. $$\frac{y+2x^2}{|y+2|}>0.$$

   Знаменатель не равен нулю, значит

   $$y\ne -2.$$

   Так как $$|y+2|>0$$ при $$y\ne -2$$, знак дроби определяется числителем. Поэтому

   $$y+2x^2>0,$$

   то есть

   $$y>-2x^2,$$

   при условии $$y\ne -2.$$

   Граница — парабола $$y=-2x^2$$, она не входит в решение; также исключается прямая $$y=-2$$.

Ответ

1) $$y \ge x^2-3x+2$$;
2) $$xy<3$$, то есть $$x>0,\ y<\frac{3}{x}$$ или $$x<0,\ y>\frac{3}{x}$$;
3) $$\left(x+2y-1\right)\left(x-y+2\right)>0$$, то есть
$$ \begin{cases} y>\frac{1-x}{2},\\ y<x+2 \end{cases} \text{ или } \begin{cases} y<\frac{1-x}{2},\\ y>x+2 \end{cases} $$;
4) $$y>-2x^2,\ y\ne -2.$$