Вариант 1 Самостоятельная работа 14 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Задача

Метод замены переменных и другие способы решения систем уравнений с двумя переменными
Решите систему уравнений:
1) {x/y+y/x=2 1/2, 2x-3y=3}; 3) {x^2-5xy+6y^2=0, 3x^2+2xy-y^2=15};
2) {v(x^2+2)+v(y^2-2)=3, x^2+y^2=5}; 4) {x+y-xy=-2, xy(x+y)=48}.

Подробный ответ

Пусть $$t=\frac{x}{y}$$, тогда $$\frac{y}{x}=\frac{1}{t}$$. Получаем
$$t+\frac{1}{t}=2\frac{1}{2}=\frac{5}{2}.$$
Умножим на $$2t$$:
$$2t^2-5t+2=0.$$
$$D=25-16=9,$$
$$t_1=\frac{5-3}{4}=\frac12,\qquad t_2=\frac{5+3}{4}=2.$$
1) Если $$\frac{x}{y}=\frac12,$$ то $$y=2x.$$ Тогда
$$2x-3(2x)=3,$$
$$-4x=3,\qquad x=-\frac34,\qquad y=-\frac32.$$
2) Если $$\frac{x}{y}=2,$$ то $$x=2y.$$ Тогда
$$2(2y)-3y=3,$$
$$y=3,\qquad x=6.$$
Из второго уравнения:
$$y^2=5-x^2.$$
Подставим в первое:
$$\sqrt{x^2+2}+\sqrt{5-x^2-2}=3,$$
$$\sqrt{x^2+2}+\sqrt{3-x^2}=3.$$
Обозначим $$a=\sqrt{x^2+2},\ b=\sqrt{3-x^2}.$$ Тогда $$a+b=3$$ и
$$a^2+b^2=(x^2+2)+(3-x^2)=5.$$
Следовательно,
$$ab=\frac{(a+b)^2-(a^2+b^2)}{2}=\frac{9-5}{2}=2.$$
Тогда
$$\sqrt{(x^2+2)(3-x^2)}=2,$$
$$x^2+2+3-x^2+2\sqrt{(x^2+2)(3-x^2)}=9,$$
$$5+4=9,$$
то есть равенство выполняется при допустимых значениях. Из условия ОДЗ:
$$3-x^2\ge 0,\qquad 5-x^2\ge 0.$$
После возведения в квадрат получаем
$$x^4-x^2-2=0,$$
$$t^2-t-2=0,\qquad t=x^2.$$
$$t_1=-1,\qquad t_2=2.$$
Подходит только $$x^2=2,$$ значит
$$x=\pm\sqrt2,\qquad y^2=3,\qquad y=\pm\sqrt3.$$
Первое уравнение:
$$x^2-5xy+6y^2=0.$$
Рассмотрим его как квадратное относительно $$x$$:
$$x=\frac{5y\pm\sqrt{25y^2-24y^2}}{2}=\frac{5y\pm y}{2}.$$
Отсюда
$$x=2y \quad \text{или} \quad x=3y.$$
1) Если $$x=2y,$$ то
$$3(2y)^2+2(2y)y-y^2=15,$$
$$15y^2=15,\qquad y^2=1.$$
Тогда $$y=\pm1,$$ $$x=\pm2.$$
2) Если $$x=3y,$$ то
$$3(3y)^2+2(3y)y-y^2=15,$$
$$32y^2=15,\qquad y^2=\frac{15}{32}.$$
Тогда
$$y=\pm\frac{\sqrt{30}}{8},\qquad x=\pm\frac{3\sqrt{30}}{8}.$$
Пусть $$u=x+y,$$ $$t=xy.$$ Тогда система принимает вид
$$u-t=-2,$$
$$ut=48.$$
Из первого уравнения $$u=t-2.$$ Подставим во второе:
$$t(t-2)=48,$$
$$t^2-2t-48=0.$$
$$D=196,$$
$$t_1=-6,\qquad t_2=8.$$
1) Если $$t=-6,$$ то $$u=-8.$$ Тогда
$$x+y=-8,\qquad xy=-6.$$
Корни уравнения $$z^2+8z-6=0$$:
$$z=-4\pm\sqrt{22}.$$
Значит, $$x=-4+\sqrt{22},\ y=-4-\sqrt{22}$$ или наоборот.
2) Если $$t=8,$$ то $$u=6.$$ Тогда
$$x+y=6,\qquad xy=8.$$
Корни уравнения $$z^2-6z+8=0$$:
$$z=2,\ 4.$$
Значит, $$x=2,\ y=4$$ или $$x=4,\ y=2.$$