Вариант 1 Самостоятельная работа 13 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Решение систем уравнений с двумя переменными методом подстановки и методами сложения и умножения
Решите систему уравнений:
1) {x^2-xy+y=3, 3y-x=4}; 3) {x^2-xy=2, 4y^2-3xy=7};
2) {(x-3)(y+1)=0, x^2+3y^2-2xy=18}; 4) {x^2 y^2-xy^3=30, x^3 y-x^2 y^2=180}.

1. Из второго уравнения выразим $$x$$:
   $$3y-x=4,$$
   $$x=3y-4.$$
   Подставим в первое уравнение:
   $$ (3y-4)^2-y(3y-4)+y=3. $$
   Раскроем скобки:
   $$ 9y^2-24y+16-3y^2+4y+y=3, $$
   $$ 6y^2-19y+13=0. $$
   Найдём корни:
   $$ D=19^2-4\cdot 6\cdot 13=361-312=49, $$
   $$ y=\frac{19\pm 7}{12}. $$
   Тогда
   $$ y_1=1,\quad y_2=\frac{13}{6}. $$
   Найдём соответствующие значения $$x$$:
   $$ x_1=3\cdot 1-4=-1, $$
   $$ x_2=3\cdot \frac{13}{6}-4=\frac{5}{2}. $$

   Получаем решения:
   $$(-1;1),\ \left(\frac{5}{2};\frac{13}{6}\right).$$

2. Из уравнения
   $$ (x-3)(y+1)=0 $$
   имеем два случая:

   1) $$x=3.$$ Тогда
   $$ 3^2+3y^2-2\cdot 3y=18, $$
   $$ 3y^2-6y-9=0, $$
   $$ y^2-2y-3=0, $$
   $$ (y-3)(y+1)=0. $$
   Значит, $$y=3$$ или $$y=-1$$.

   2) $$y=-1.$$ Тогда
   $$ x^2+3\cdot (-1)^2-2x(-1)=18, $$
   $$ x^2+2x-15=0, $$
   $$ (x+5)(x-3)=0. $$
   Значит, $$x=-5$$ или $$x=3$$.

   Получаем решения:
   $$(3;-1),\ (3;3),\ (-5;-1).$$

3. Сложим уравнения:
   $$ x^2-xy=2, $$
   $$ 4y^2-3xy=7. $$
   Тогда
   $$ x^2-4xy+4y^2=9, $$
   $$ (x-2y)^2=9. $$
   Отсюда
   $$ x-2y=3 \quad \text{или} \quad x-2y=-3. $$

   1) Если $$x=2y+3$$, то
   $$ 4y^2-3y(2y+3)=7, $$
   $$ 4y^2-6y^2-9y=7, $$
   $$ 2y^2+9y+7=0. $$
   $$ D=9^2-4\cdot 2\cdot 7=25, $$
   $$ y=\frac{-9\pm 5}{4}. $$
   Тогда
   $$ y_1=-1,\quad y_2=-\frac{7}{2}. $$
   Соответственно,
   $$ x_1=1,\quad x_2=-4. $$

   2) Если $$x=2y-3$$, то
   $$ 4y^2-3y(2y-3)=7, $$
   $$ 4y^2-6y^2+9y=7, $$
   $$ 2y^2-9y+7=0. $$
   $$ D=9^2-4\cdot 2\cdot 7=25, $$
   $$ y=\frac{9\pm 5}{4}. $$
   Тогда
   $$ y_3=1,\quad y_4=\frac{7}{2}. $$
   Соответственно,
   $$ x_3=-1,\quad x_4=4. $$

   Получаем решения:
   $$(-4;-\frac{7}{2}),\ (1;-1),\ (-1;1),\ (4;\frac{7}{2}).$$

4. Вынесем общий множитель:
   $$ x^2y^2-xy^3=xy^2(x-y)=30, $$
   $$ x^3y-x^2y^2=x^2y(x-y)=180. $$
   Разделим второе уравнение на первое:
   $$ \frac{x^2y(x-y)}{xy^2(x-y)}=\frac{180}{30}, $$
   $$ \frac{x}{y}=6, $$
   значит,
   $$ x=6y. $$
   Подставим в первое уравнение:
   $$ (6y)^2y^2-(6y)y^3=30, $$
   $$ 36y^4-6y^4=30, $$
   $$ 30y^4=30, $$
   $$ y^4=1. $$
   Отсюда
   $$ y=1 \quad \text{или} \quad y=-1. $$
   Тогда
   $$ x=6 \quad \text{или} \quad x=-6. $$

   Получаем решения:
   $$(6;1),\ (-6;-1).$$

Ответ

1) $$(-1;1),\ \left(\frac{5}{2};\frac{13}{6}\right)$$
2) $$(3;-1),\ (3;3),\ (-5;-1)$$
3) $$(-4;-\frac{7}{2}),\ (1;-1),\ (-1;1),\ (4;\frac{7}{2})$$
4) $$(6;1),\ (-6;-1)$$