Вариант 1 Самостоятельная работа 12 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Задача

Графические методы решения систем уравнений с двумя переменными
1. Решите графически систему уравнений {x^2+y^2=17, xy=-4}.
2. Определите графически количество решений системы уравнений {|y|=-x, y=x^2-2x-1}.
3. Сколько решений имеет система уравнений {2x+ay=8-a, ax+8y=8} в зависимости от значения параметра a?

Подробный ответ

Рассмотрим систему
$$ \begin{cases} x^2+y^2=17,\\ xy=-4. \end{cases} $$
Из второго уравнения получаем $$y=-\dfrac{4}{x}$$, где $$x\neq 0$$. Подставим в первое уравнение:
$$ x^2+\left(-\dfrac{4}{x}\right)^2=17. $$
Умножим на $$x^2$$:
$$ x^4-17x^2+16=0. $$
Обозначим $$t=x^2$$. Тогда
$$ t^2-17t+16=0, $$
$$ (t-1)(t-16)=0. $$
Следовательно, $$t=1$$ или $$t=16$$, то есть
$$ x^2=1 \Rightarrow x=\pm 1,\qquad x^2=16 \Rightarrow x=\pm 4. $$
Находим соответствующие значения $$y$$:
$$ x=1 \Rightarrow y=-4;\quad x=-1 \Rightarrow y=4;\quad x=4 \Rightarrow y=-1;\quad x=-4 \Rightarrow y=1. $$
Рассмотрим систему
$$ \begin{cases} |y|=-x,\\ y=x^2-2x-1. \end{cases} $$
Из первого уравнения:
$$ x=-|y|. $$
Значит, $$x\le 0$$, а график первого уравнения состоит из двух лучей:
$$ y=x \quad (x\le 0), \qquad y=-x \quad (x\le 0). $$
Второе уравнение задаёт параболу $$y=x^2-2x-1$$ с вершиной $$\left(1,-2\right)$$.
По графику видно, что парабола пересекает график первого уравнения в двух точках, значит система имеет 2 решения.
Рассмотрим систему
$$ \begin{cases} 2x+ay=8-a,\\ ax+8y=8. \end{cases} $$
Определим число решений по определителю системы:
$$ \Delta= \begin{vmatrix} 2 & a\\ a & 8 \end{vmatrix} =16-a^2. $$
Если $$\Delta\neq 0$$, то система имеет единственное решение, то есть при $$a\neq \pm 4$$ решений одно.
Если $$\Delta=0$$, то $$a=\pm 4$$. Проверим эти случаи:
при $$a=4$$:
$$ \begin{cases} 2x+4y=4,\\ 4x+8y=8, \end{cases} $$
второе уравнение получается из первого умножением на 2, значит решений бесконечно много;
при $$a=-4$$:
$$ \begin{cases} 2x-4y=12,\\ -4x+8y=8, \end{cases} $$
уравнения несовместны, значит решений нет.