Вариант 1 Самостоятельная работа 11 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Задача

Уравнение с двумя переменными и его график
1. Постройте график уравнения:
1) x^2+y^2+2x-6y+10=0; 3) |y-2|=vx;
2) 4x^2-y^2=0; 4) (x^2+y^2-16)/(x^2-9)=0.
2. Решите уравнение (x^2-8x+17)(y^2+2y+4)=3.

Подробный ответ

$$x^2+y^2+2x-6y+10=0$$
Дополнем до квадратов:
$$x^2+2x+1+y^2-6y+9=0$$
$$\left(x+1\right)^2+\left(y-3\right)^2=0$$
Сумма квадратов равна нулю только тогда, когда каждый квадрат равен нулю:
$$x+1=0,\quad y-3=0$$
$$x=-1,\quad y=3$$
График — одна точка $$(-1;3)$$.
$$4x^2-y^2=0$$
$$y^2=4x^2$$
$$|y|=2|x|$$
Отсюда получаем две прямые:
$$y=2x \quad \text{и} \quad y=-2x$$
График — две пересекающиеся в начале координат прямые.
$$|y-2|=\sqrt{x}$$
Так как $$\sqrt{x}$$ определён при $$x\ge 0$$, то:
$$y-2=\sqrt{x} \quad \text{или} \quad 2-y=\sqrt{x}$$
Следовательно,
$$y=\sqrt{x}+2 \quad \text{или} \quad y=2-\sqrt{x}$$
Это две ветви графика, симметричные относительно прямой $$y=2$$.
$$\frac{x^2+y^2-16}{x^2-9}=0$$
Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:
$$x^2+y^2-16=0,\quad x^2-9\ne 0$$
$$x^2+y^2=16,\quad x\ne \pm 3$$
График — окружность $$x^2+y^2=16$$ без точек с абсциссами $$x=\pm 3$$.
$$\left(x^2-8x+17\right)\left(y^2+2y+4\right)=3$$
Преобразуем выражения в скобках:
$$x^2-8x+17=\left(x-4\right)^2+1\ge 1$$
$$y^2+2y+4=\left(y+1\right)^2+3\ge 3$$
Тогда произведение не меньше $$1\cdot 3=3$$. Равенство возможно только при
$$\left(x-4\right)^2=0,\quad \left(y+1\right)^2=0$$
$$x=4,\quad y=-1$$