Вариант 1 Самостоятельная работа 10 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)
Расположение нулей квадратичной функции относительно данной точки
1. При каких значениях параметра a все корни уравнения x^2-(2a+3)x+6a=0 принадлежат промежутку (1; 4)?
2. Найдите все значения параметра a, при которых один из корней квадратного уравнения ax^2+x-3=0 больше 2, а другой меньше 2.
3. При каких значениях параметра a корни уравнения x^2-(2a+6)x+a^2-5a+6=0 являются положительными числами?
Рассмотрим уравнение
$$x^2-(2a+3)x+6a=0.$$
Подберём корни. Заметим, что
$$x^2-(2a+3)x+6a=(x-3)(x-2a).$$
Тогда корни уравнения:
$$x_1=3,\quad x_2=2a.$$
Оба корня должны принадлежать промежутку $$\left(1;4\right)$$, значит
$$1<2a<4.$$
Отсюда
$$\frac12<a<2.$$
Рассмотрим уравнение
$$ax^2+x-3=0.$$
Пусть один корень больше $$2$$, а другой меньше $$2$$. Тогда число $$2$$ лежит между корнями, значит
$$f(2)<0,$$
где $$f(x)=ax^2+x-3.$$
Вычислим:
$$f(2)=4a+2-3=4a-1.$$
Получаем
$$4a-1<0,$$
$$a<\frac14.$$
При $$a=0$$ уравнение становится линейным $$x-3=0$$, и условие не выполняется, поэтому $$a=0$$ не подходит.
Рассмотрим уравнение
$$x^2-(2a+6)x+a^2-5a+6=0.$$
Чтобы оба корня были положительными, нужно, чтобы:
$$x_1+x_2>0,\quad x_1x_2>0,$$
и уравнение имело действительные корни:
$$D\ge 0.$$
По теореме Виета:
$$x_1+x_2=2a+6,$$
$$x_1x_2=a^2-5a+6=(a-2)(a-3).$$
Найдём дискриминант:
$$D=(2a+6)^2-4(a^2-5a+6)=44a+12.$$
Тогда
$$44a+12\ge 0,\quad 2a+6>0,\quad (a-2)(a-3)>0.$$
Из первого и второго неравенств получаем
$$a\ge -\frac{3}{11},\quad a>-3.$$
Из третьего:
$$a<2 \quad \text{или} \quad a>3.$$
С учётом всех условий:
$$a\in\left[-\frac{3}{11};2\right)\cup(3;+\infty).$$
Ответ
1) $$\left(\frac12;2\right)$$; 2) $$a<\frac14$$; 3) $$\left[-\frac{3}{11};2\right)\cup(3;+\infty)$$.
