Задание 9 Параграф 14 ГДЗ Рабочая тетрадь 2 Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)
- Из пунктов $$A$$ и $$B$$, расстояние между которыми равно $$50\ \text{км}$$, навстречу друг другу одновременно отправились в пеший поход два туриста. Через $$5\ \text{ч}$$ после начала движения они встретились. После встречи скорость первого туриста, идущего из $$A$$ в $$B$$, уменьшилась на $$1\ \text{км/ч}$$, а скорость второго, идущего из $$B$$ в $$A$$, увеличилась на $$1\ \text{км/ч}$$. Первый турист прибыл в пункт $$B$$ на $$2\ \text{ч}$$ раньше, чем второй в пункт $$A$$. Найдите первоначальную скорость первого туриста.
Пусть первоначальная скорость первого туриста равна $$x$$ км/ч, а второго — $$y$$ км/ч.
За 5 ч до встречи первый турист прошёл $$5x$$ км, второй — $$5y$$ км. Так как вместе они прошли $$50$$ км, получаем:
$$5x+5y=50.$$
После встречи первый турист шёл со скоростью $$x-1$$ км/ч, а второй — со скоростью $$y+1$$ км/ч. До встречи они затратили одинаковое время, а после встречи первый прибыл на 2 ч раньше второго, значит:
$$\frac{5y}{x-1}-\frac{5x}{y+1}=2.$$
Составим систему:
$$\begin{cases} 5x+5y=50,\\ \frac{5y}{x-1}-\frac{5x}{y+1}=2. \end{cases}$$
Из первого уравнения:
$$x+y=10,\quad x=10-y.$$
Подставим во второе уравнение:
$$\frac{5y}{9-y}-\frac{5(10-y)}{y+1}=2.$$
Умножим на $$(y+1)(9-y)$$:
$$5y(y+1)-5(10-y)(y+1)-2(y+1)(9-y)=0.$$
Раскроем скобки и упростим:
$$5y^2+5y-50y-50+5y^2+5y-2(9+y-9y-y^2)=0,$$
$$2y^2-116y+432=0.$$
Разделим на 2:
$$y^2-58y+216=0.$$
Найдём корни:
$$D=58^2-4\cdot216=3364-864=2500,$$
$$y=\frac{58\pm50}{2}.$$
Получаем:
$$y_1=4,\quad y_2=54.$$
Значение $$y=54$$ не подходит, так как тогда $$x=10-54<0$$. Значит, $$y=4$$.
Тогда
$$x=10-4=6.$$
Ответ
$$6\text{ км/ч}$$
