Задание 9 Параграф 26 ГДЗ Рабочая тетрадь 2 Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

1. Сумма бесконечной геометрической прогрессии равна $$96$$, а сумма трёх её первых членов равна $$55{,}5$$. Найдите первый член и знаменатель прогрессии.

Пусть $$b_1$$ — первый член, а $$q$$ — знаменатель геометрической прогрессии.

Используем формулы суммы бесконечной геометрической прогрессии и суммы первых трёх её членов:

$$\begin{cases} \dfrac{b_1}{1-q}=96,\\[6pt] \dfrac{b_1(q^3-1)}{q-1}=55{,}5 \end{cases}$$

Из первого уравнения:

$$b_1=96(1-q).$$

Подставим это во второе уравнение:

$$96(1-q)\cdot \dfrac{q^3-1}{q-1}=55{,}5.$$

Так как $$q^3-1=(q-1)(q^2+q+1)$$, получаем:

$$96(1-q)(q^2+q+1)=55{,}5.$$

Но удобнее воспользоваться равенством $$\dfrac{q^3-1}{q-1}=q^2+q+1$$ и подставить $$b_1=96(1-q)$$ в исходную систему:

$$96(1-q)(q^2+q+1)=55{,}5.$$

Раскроем скобки:

$$96(1-q^3)=55{,}5.$$

$$96q^3=96-55{,}5=40{,}5.$$

$$q^3=\dfrac{40{,}5}{96}=\dfrac{81}{192}=\dfrac{27}{64}.$$

$$q=\dfrac{3}{4}.$$

Теперь найдём первый член:

$$b_1=96\left(1-\dfrac{3}{4}\right)=96\cdot \dfrac{1}{4}=24.$$

Ответ

$$b_1=24,\quad q=\dfrac{3}{4}.$$