Задание 9 Параграф 26 ГДЗ Рабочая тетрадь 2 Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Просвещение: 9. Сумма бесконечной геометрической прогрессии равна 96, а сумма трёх её первых членов равна 55,5. Найдите первый член и знаменатель прогрессии. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 9 merzlyak_wb9 26-9 95

Пусть $$b_1$$ — первый член, а $$q$$ — знаменатель геометрической прогрессии.

Используем формулы суммы бесконечной геометрической прогрессии и суммы первых трёх её членов:

$$ \begin{cases} \dfrac{b_1}{1-q}=96,\\[6pt] \dfrac{b_1(q^3-1)}{q-1}=55{,}5 \end{cases} $$

Из первого уравнения:

$$ b_1=96(1-q). $$

Подставим это во второе уравнение:

$$ 96(1-q)\cdot \dfrac{q^3-1}{q-1}=55{,}5. $$

Так как $$q^3-1=(q-1)(q^2+q+1)$$, получаем:

$$ 96(1-q)(q^2+q+1)=55{,}5. $$

Но удобнее воспользоваться равенством $$\dfrac{q^3-1}{q-1}=q^2+q+1$$ и подставить $$b_1=96(1-q)$$ в исходную систему:

$$ 96(1-q)(q^2+q+1)=55{,}5. $$

Раскроем скобки:

$$ 96(1-q^3)=55{,}5. $$

$$ 96q^3=96-55{,}5=40{,}5. $$

$$ q^3=\dfrac{40{,}5}{96}=\dfrac{81}{192}=\dfrac{27}{64}. $$

$$ q=\dfrac{3}{4}. $$

Теперь найдём первый член:

$$ b_1=96\left(1-\dfrac{3}{4}\right)=96\cdot \dfrac{1}{4}=24. $$

Ответ

$$b_1=24,\quad q=\dfrac{3}{4}.$$