Задание 8 Параграф 13 ГДЗ Рабочая тетрадь 2 Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

1) {x^2 + 14xy + 49y^2 = 576; x — 7y = -4};
2) {x^2 — 4xy + 4y^2 = 121; y^2 — xy = 28};
3) {x^2 + y^2 = 17; xy = -4};
4) {64x^2 + y^2 = 281; xy = 10}.

1. $$x^2+14xy+49y^2=576$$
   $$\left(x+7y\right)^2=576$$
   $$x+7y=24 \text{ или } x+7y=-24.$$

   Решим две системы:

   $$\begin{cases} x+7y=24 \\ x-7y=-4 \end{cases}$$
   Складываем уравнения:
   $$2x=20,\quad x=10.$$
   Тогда
   $$10+7y=24,\quad 7y=14,\quad y=2.$$

   $$\begin{cases} x+7y=-24 \\ x-7y=-4 \end{cases}$$
   Складываем уравнения:
   $$2x=-28,\quad x=-14.$$
   Тогда
   $$-14+7y=-24,\quad 7y=-10,\quad y=-\frac{10}{7}.$$

   Ответ: $$\left(10;2\right),\ \left(-14;-\frac{10}{7}\right).$$

2. $$x^2-4xy+4y^2=121$$
   $$\left(x-2y\right)^2=121$$
   $$x-2y=-11 \text{ или } x-2y=11.$$

   Решим две системы:

   $$\begin{cases} x-2y=-11 \\ y^2-xy=28 \end{cases}$$
   Из первого уравнения:
   $$x=2y-11.$$
   Подставим во второе:
   $$y^2-y(2y-11)=28,$$
   $$-y^2+11y-28=0,$$
   $$y^2-11y+28=0.$$
   Тогда
   $$\left(y-4\right)\left(y-7\right)=0,$$
   $$y=4 \text{ или } y=7.$$
   При $$y=4$$ получаем $$x=2\cdot 4-11=-3.$$
   При $$y=7$$ получаем $$x=2\cdot 7-11=3.$$

   $$\begin{cases} x-2y=11 \\ y^2-xy=28 \end{cases}$$
   Из первого уравнения:
   $$x=2y+11.$$
   Подставим во второе:
   $$y^2-y(2y+11)=28,$$
   $$-y^2-11y-28=0,$$
   $$y^2+11y+28=0.$$
   Тогда
   $$\left(y+7\right)\left(y+4\right)=0,$$
   $$y=-7 \text{ или } y=-4.$$
   При $$y=-7$$ получаем $$x=2\cdot(-7)+11=-3.$$
   При $$y=-4$$ получаем $$x=2\cdot(-4)+11=3.$$

   Ответ: $$\left(-3;4\right),\ \left(3;7\right),\ \left(-3;-7\right),\ \left(3;-4\right).$$

3. $$x^2+y^2=17,\quad xy=-4.$$
   Умножим второе уравнение на 2:
   $$2xy=-8.$$
   Сложим уравнения:
   $$x^2+2xy+y^2=9,$$
   $$\left(x+y\right)^2=9.$$
   Значит,
   $$x+y=3 \text{ или } x+y=-3.$$

   Решим две системы:

   $$\begin{cases} x+y=3 \\ xy=-4 \end{cases}$$
   Тогда числа $$x$$ и $$y$$ — корни уравнения
   $$t^2-3t-4=0,$$
   $$\left(t-4\right)\left(t+1\right)=0.$$
   Следовательно,
   $$t=4 \text{ или } t=-1.$$
   Получаем пары:
   $$\left(-1;4\right),\ \left(4;-1\right).$$

   $$\begin{cases} x+y=-3 \\ xy=-4 \end{cases}$$
   Тогда числа $$x$$ и $$y$$ — корни уравнения
   $$t^2+3t-4=0,$$
   $$\left(t+4\right)\left(t-1\right)=0.$$
   Следовательно,
   $$t=-4 \text{ или } t=1.$$
   Получаем пары:
   $$\left(-4;1\right),\ \left(1;-4\right).$$

   Ответ: $$\left(-4;1\right),\ \left(1;-4\right),\ \left(-1;4\right),\ \left(4;-1\right).$$

4. $$64x^2+y^2=281,\quad xy=10.$$
   Умножим второе уравнение на 16:
   $$16xy=160.$$
   Сложим уравнения:
   $$64x^2+16xy+y^2=441,$$
   $$\left(8x+y\right)^2=441.$$
   Значит,
   $$8x+y=21 \text{ или } 8x+y=-21.$$

   Решим две системы:

   $$\begin{cases} 8x+y=21 \\ xy=10 \end{cases}$$
   Из первого уравнения:
   $$y=21-8x.$$
   Подставим во второе:
   $$x\left(21-8x\right)=10,$$
   $$8x^2-21x+10=0.$$
   $$D=21^2-4\cdot 8\cdot 10=121,$$
   $$x=\frac{21\pm 11}{16}.$$
   Тогда
   $$x=\frac{5}{8} \text{ или } x=2.$$
   Соответственно,
   $$y=21-8\cdot \frac{5}{8}=16,$$
   $$y=21-8\cdot 2=5.$$
   Получаем пары:
   $$\left(\frac{5}{8};16\right),\ \left(2;5\right).$$

   $$\begin{cases} 8x+y=-21 \\ xy=10 \end{cases}$$
   Из первого уравнения:
   $$y=-21-8x.$$
   Подставим во второе:
   $$x\left(-21-8x\right)=10,$$
   $$8x^2+21x+10=0.$$
   $$D=21^2-4\cdot 8\cdot 10=121,$$
   $$x=\frac{-21\pm 11}{16}.$$
   Тогда
   $$x=-2 \text{ или } x=-\frac{5}{8}.$$
   Соответственно,
   $$y=-21-8\cdot(-2)=-5,$$
   $$y=-21-8\cdot\left(-\frac{5}{8}\right)=-16.$$
   Получаем пары:
   $$\left(-2;-5\right),\ \left(-\frac{5}{8};-16\right).$$

   Ответ: $$\left(-2;-5\right),\ \left(-\frac{5}{8};-16\right),\ \left(\frac{5}{8};16\right),\ \left(2;5\right).$$