Задание 8 Параграф 26 ГДЗ Рабочая тетрадь 2 Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

1. Найдите первый член и знаменатель бесконечной геометрической прогрессии $$(b_n)$$, если $$b_2=18$$, а сумма прогрессии равна $$81$$.

Обозначим знаменатель геометрической прогрессии через $$q$$. Тогда

$$b_2=b_1q,$$

а сумма бесконечной геометрической прогрессии равна

$$S=\frac{b_1}{1-q}, \quad |q|<1.$$

По условию задачи:

$$b_2=18,\quad S=81.$$

Составим систему:

$$\begin{cases} b_1q=18,\\ \dfrac{b_1}{1-q}=81. \end{cases}$$

Из первого уравнения:

$$b_1=\frac{18}{q}.$$

Подставим во второе:

$$\frac{18/q}{1-q}=81,$$

$$18=81q(1-q),$$

$$18=81q-81q^2,$$

$$81q^2-81q+18=0.$$

Разделим на $$9$$:

$$9q^2-9q+2=0.$$

Найдём корни:

$$D=(-9)^2-4\cdot 9\cdot 2=81-72=9,$$

$$q=\frac{9\pm 3}{18}.$$

Получаем:

$$q_1=\frac{1}{3}, \quad q_2=\frac{2}{3}.$$

Теперь найдём $$b_1$$:

при $$q=\frac{1}{3}$$

$$b_1=\frac{18}{1/3}=54;$$

при $$q=\frac{2}{3}$$

$$b_1=\frac{18}{2/3}=27.$$

Оба значения подходят, так как $$|q|<1$$.

Ответ

$$b_1=54,\ q=\frac{1}{3}$$ или $$b_1=27,\ q=\frac{2}{3}.$$