Задание 7 Параграф 14 ГДЗ Рабочая тетрадь 2 Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

1. Двое рабочих могут выполнить производственное задание, работая вместе, за 2 ч. За сколько часов может выполнить это задание каждый рабочий самостоятельно, если одному из них для выполнения $$\frac{1}{3}$$ задания надо на 3 ч меньше, чем второму для выполнения $$\frac{2}{3}$$ задания?

Пусть первый рабочий может выполнить всё задание за $$x$$ ч, а второй — за $$y$$ ч. Тогда за 1 ч первый выполняет $$\frac{1}{x}$$ задания, а второй — $$\frac{1}{y}$$ задания.

По условию вместе они выполняют всё задание за 2 ч, значит:

$$\frac{2}{x}+\frac{2}{y}=1.$$

Первый рабочий выполняет $$\frac{1}{3}$$ задания за $$\frac{x}{3}$$ ч, а второй выполняет $$\frac{2}{3}$$ задания за $$\frac{2y}{3}$$ ч. По условию первый тратит на 3 ч меньше, чем второй:

$$\frac{2y}{3}-\frac{x}{3}=3.$$

Получаем систему:

$$\begin{cases} \frac{2}{x}+\frac{2}{y}=1,\\ \frac{2y}{3}-\frac{x}{3}=3. \end{cases}$$

Умножим первое уравнение на $$xy$$, а второе — на $$3$$:

$$\begin{cases} 2y+2x=xy,\\ 2y-x=9. \end{cases}$$

Из второго уравнения:

$$x=2y-9.$$

Подставим в первое:

$$2y+2(2y-9)=y(2y-9)$$

$$2y+4y-18=2y^2-9y$$

$$2y^2-15y+18=0.$$

Найдём корни:

$$D=15^2-4\cdot 2\cdot 18=225-144=81,$$

$$y_{1,2}=\frac{15\pm 9}{4}.$$

Тогда

$$y_1=\frac{6}{4}=1{,}5,\qquad y_2=\frac{24}{4}=6.$$

Найдём соответствующие значения $$x$$:

$$x=2y-9.$$

Если $$y=1{,}5$$, то $$x=3-9=-6$$ — не подходит.

Если $$y=6$$, то $$x=12-9=3.$$

Значит, первый рабочий выполняет задание за 3 ч, а второй — за 6 ч.

Ответ

3 ч и 6 ч.