Задание 7 Параграф 13 ГДЗ Рабочая тетрадь 2 Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Задача

1) {2x — 5xy = 18; y + 5xy = -16};
2) {xy + x = 1; xy — 3y = 0,5};
3) {7x^2 + 3y^2 = 31; 7x^2 — 3y^2 = 25}.

Подробный ответ

Сложим уравнения системы:
$$\begin{cases} 2x-5xy=18,\\ y+5xy=-16 \end{cases}$$
Получаем:
$$2x+y=2.$$
Выразим $$y$$:
$$y=2-2x.$$
Подставим в первое уравнение:
$$2x-5x(2-2x)=18,$$
$$2x-10x+10x^2-18=0,$$
$$10x^2-8x-18=0,$$
$$5x^2-4x-9=0.$$
Найдём корни:
$$D=(-4)^2-4\cdot 5\cdot(-9)=196,$$
$$x=\frac{4\pm 14}{10}.$$
Тогда
$$x_1=-1,\quad x_2=\frac{9}{5}=1{,}8.$$
Найдём соответствующие значения $$y$$:
$$y_1=2-2\cdot(-1)=4,$$
$$y_2=2-2\cdot 1{,}8=-1{,}6.$$
Вычтем второе уравнение из первого:
$$\begin{cases} xy+x=1,\\ xy-3y=0{,}5 \end{cases}$$
Получаем:
$$x+3y=0{,}5.$$
Выразим $$x$$:
$$x=0{,}5-3y.$$
Подставим в первое уравнение:
$$(0{,}5-3y)y+(0{,}5-3y)=1,$$
$$0{,}5y-3y^2+0{,}5-3y-1=0,$$
$$-3y^2-2{,}5y-0{,}5=0.$$
Умножим на $$-2$$:
$$6y^2+5y+1=0.$$
Тогда
$$D=5^2-4\cdot 6\cdot 1=1,$$
$$y=\frac{-5\pm 1}{12}.$$
Получаем:
$$y_1=-0{,}5,\quad y_2=-\frac13.$$
Найдём $$x$$:
$$x_1=0{,}5-3\cdot(-0{,}5)=2,$$
$$x_2=0{,}5-3\cdot\left(-\frac13\right)=1{,}5.$$
Сложим уравнения системы:
$$\begin{cases} 7x^2+3y^2=31,\\ 7x^2-3y^2=25 \end{cases}$$
Получаем:
$$14x^2=56,$$
$$x^2=4,$$
$$x=-2 \text{ или } x=2.$$
Подставим в второе уравнение:
$$7x^2-3y^2=25.$$
При $$x=-2$$:
$$7\cdot 4-3y^2=25,$$
$$28-3y^2=25,$$
$$3y^2=3,$$
$$y^2=1,$$
$$y=-1 \text{ или } y=1.$$
При $$x=2$$ получаем те же значения $$y$$.