Задание 7 Параграф 26 ГДЗ Рабочая тетрадь 2 Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Просвещение: 7. Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии (b_n), если b_2 — b_4 = 1,5 и b_1 — b_3 = 3. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 9 merzlyak_wb9 26-7 95

Пусть $$q$$ — знаменатель геометрической прогрессии. Тогда

$$b_2=b_1q,\quad b_3=b_1q^2,\quad b_4=b_1q^3.$$

По условию:

$$ \begin{cases} b_1q-b_1q^3=1{,}5,\\ b_1-b_1q^2=3. \end{cases} $$

Вынесем $$b_1$$ за скобки:

$$ \begin{cases} b_1(q-q^3)=1{,}5,\\ b_1(1-q^2)=3. \end{cases} $$

Из второго уравнения:

$$b_1=\frac{3}{1-q^2}.$$

Подставим в первое:

$$\frac{3}{1-q^2}(q-q^3)=1{,}5.$$

Так как $$q-q^3=q(1-q^2)$$, получаем:

$$3q=1{,}5,$$

откуда

$$q=0{,}5.$$

Найдём первый член прогрессии:

$$b_1=\frac{3}{1-0{,}5^2}=\frac{3}{1-0{,}25}=\frac{3}{0{,}75}=4.$$

Сумма бесконечной геометрической прогрессии:

$$S=\frac{b_1}{1-q}=\frac{4}{1-0{,}5}=\frac{4}{0{,}5}=8.$$

Ответ

$$8$$