Задание 6 Параграф 14 ГДЗ Рабочая тетрадь 2 Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Расстояние между двумя деревнями, равное $$48\text{ км}$$, первый велосипедист проезжает на $$32\text{ мин}$$ быстрее второго. Найдите скорость каждого велосипедиста, если известно, что за $$30\text{ мин}$$ первый велосипедист проезжает на $$6\text{ км}$$ меньше, чем второй велосипедист за $$1\text{ ч}$$.

Пусть скорость первого велосипедиста равна $$x$$ км/ч, а второго — $$y$$ км/ч.

Тогда время, за которое первый проезжает 48 км, равно $$\frac{48}{x}$$ ч, а второй — $$\frac{48}{y}$$ ч. По условию первый проезжает это расстояние на $$32$$ мин быстрее второго, то есть на $$\frac{8}{15}$$ ч быстрее:

$$\frac{48}{y}-\frac{48}{x}=\frac{8}{15}.$$

За 30 мин первый велосипедист проезжает $$0{,}5x$$ км, а второй за 1 ч — $$y$$ км. По условию первый проезжает на 6 км меньше:

$$y-0{,}5x=6.$$

Получаем систему:

$$\begin{cases} \frac{48}{y}-\frac{48}{x}=\frac{8}{15},\\ y-0{,}5x=6. \end{cases}$$

Умножим первое уравнение на $$15xy$$, а второе — на $$2$$:

$$\begin{cases} 720x-720y-8xy=0,\\ x=2y-12. \end{cases}$$

Подставим $$x=2y-12$$ в первое уравнение:

$$720(2y-12)-720y-8y(2y-12)=0$$

$$1440y-8640-720y-16y^2+96y=0$$

$$-16y^2+816y-8640=0$$

$$y^2-51y+540=0.$$

Найдём корни:

$$D=51^2-4\cdot540=2601-2160=441,$$

$$y=\frac{51\pm21}{2}.$$

Тогда

$$y_1=\frac{51-21}{2}=15,\qquad y_2=\frac{51+21}{2}=36.$$

Проверим: при $$y=36$$ получаем $$x=2\cdot36-12=60$$, но тогда условие о разности времён не выполняется. Значит, подходит только $$y=15$$.

Тогда

$$x=2\cdot15-12=18.$$

Ответ

$$18\text{ км/ч и }15\text{ км/ч}.$$