Задание 6 Параграф 13 ГДЗ Рабочая тетрадь 2 Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Задача

Решите систему уравнений:
1) $$\begin{cases}(x+y)^2-4(x+y)=12,\\x^2-xy=12;\end{cases}$$
2) $$\begin{cases}\frac{x}{y}-xy=6,\\2\frac{x}{y}+3xy=22;\end{cases}$$
3) $$\begin{cases}\frac{1}{x}-\frac{1}{y}=\frac{1}{3},\\\frac{2}{x}+\frac{3}{y}=1{,}5;\end{cases}$$
4) $$\begin{cases}\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=\frac{26}{5},\\x^2-y^2=24;\end{cases}$$
5) $$\begin{cases}\frac{x+3y}{x-y}-\frac{x-y}{x+3y}=\frac{24}{5},\\5x+8y=18.\end{cases}$$

Подробный ответ

Пусть $$x+y=t.$$ Тогда первое уравнение системы:
$$t^2-4t-12=0.$$
По теореме Виета:
$$t_1=6,\quad t_2=-2.$$
1) Если $$x+y=6,$$ то $$y=6-x$$ и
$$x^2-x(6-x)=12,$$
$$2x^2-6x-12=0,$$
$$x^2-3x-6=0.$$
$$D=9+24=33,$$
$$x_{1,2}=\frac{3\pm\sqrt{33}}{2}.$$
Тогда
$$y_{1,2}=6-x_{1,2}=\frac{9\mp\sqrt{33}}{2}.$$
Получаем пары:
$$\left(\frac{3-\sqrt{33}}{2};\frac{9+\sqrt{33}}{2}\right),\quad \left(\frac{3+\sqrt{33}}{2};\frac{9-\sqrt{33}}{2}\right).$$
2) Если $$x+y=-2,$$ то $$y=-2-x$$ и
$$x^2-x(-2-x)=12,$$
$$2x^2+2x-12=0,$$
$$x^2+x-6=0.$$
$$x_1=-3,\quad x_2=2.$$
Тогда
$$y_1=-2-(-3)=1,\quad y_2=-2-2=-4.$$
Получаем пары:
$$(-3;1),\quad (2;-4).$$
Пусть $$\frac{x}{y}=a,\quad xy=b.$$ Тогда система принимает вид:
$$\begin{cases} a-b=6, \\ 2a+3b=22. \end{cases}$$
Из первого уравнения $$a=6+b.$$ Подставим во второе:
$$2(6+b)+3b=22,$$
$$12+5b=22,$$
$$b=2,\quad a=8.$$
Значит,
$$\frac{x}{y}=8,\quad xy=2.$$
Тогда $$x=8y,$$ и
$$8y^2=2,$$
$$y^2=\frac14,$$
$$y=\pm\frac12.$$
При $$y=\frac12$$ получаем $$x=4,$$ при $$y=-\frac12$$ получаем $$x=-4.$$
Пусть $$\frac1x=a,\quad \frac1y=b.$$ Тогда система принимает вид:
$$\begin{cases} a-b=\frac13, \\ 2a+3b=1{,}5. \end{cases}$$
Из первого уравнения $$a=b+\frac13.$$ Подставим во второе:
$$2\left(b+\frac13\right)+3b=1{,}5,$$
$$5b+\frac23=\frac32,$$
$$5b=\frac56,$$
$$b=\frac16,\quad a=\frac12.$$
Значит,
$$\frac1x=\frac12,\quad \frac1y=\frac16,$$
откуда
$$x=2,\quad y=6.$$
Пусть $$\frac{x}{y}=a,$$ тогда $$\frac{y}{x}=\frac1a.$$ Первое уравнение системы:
$$a+\frac1a=\frac{26}{5}.$$
Умножим на $$5a$$:
$$5a^2-26a+5=0.$$
$$D=26^2-4\cdot5\cdot5=576,$$
$$a_{1,2}=\frac{26\pm24}{10}.$$
Отсюда
$$a_1=\frac15,\quad a_2=5.$$
1) Если $$\frac{x}{y}=5,$$ то $$x=5y.$$ Подставим во второе уравнение:
$$x^2-y^2=24,$$
$$25y^2-y^2=24,$$
$$24y^2=24,$$
$$y^2=1,$$
$$y=\pm1.$$
Тогда $$x=\pm5.$$ Получаем пары $$(-5;-1)$$ и $$(5;1).$$
2) Если $$\frac{x}{y}=\frac15,$$ то $$x=\frac{y}{5}.$$ Тогда
$$x^2-y^2=24,$$
$$\frac{y^2}{25}-y^2=24,$$
$$-\frac{24}{25}y^2=24,$$
$$y^2=-25,$$
решений нет.
Пусть
$$a=\frac{x+3y}{x-y},\quad \frac{x-y}{x+3y}=\frac1a.$$
Тогда первое уравнение:
$$a-\frac1a=\frac{24}{5}.$$
Умножим на $$5a$$:
$$5a^2-24a-5=0.$$
$$D=24^2+100=676,$$
$$a_{1,2}=\frac{24\pm26}{10}.$$
Отсюда
$$a_1=-\frac15,\quad a_2=5.$$
1) Если
$$\frac{x+3y}{x-y}=-\frac15,$$
то
$$5(x+3y)=-(x-y),$$
$$6x+14y=0,$$
$$3x+7y=0,$$
$$x=-\frac73y.$$
Подставим во второе уравнение:
$$5x+8y=18,$$
$$5\left(-\frac73y\right)+8y=18,$$
$$-\frac{35}{3}y+8y=18,$$
$$-\frac{11}{3}y=18,$$
$$y=-\frac{54}{11},$$
$$x=\frac{126}{11}.$$
2) Если
$$\frac{x+3y}{x-y}=5,$$
то
$$x+3y=5(x-y),$$
$$-4x+8y=0,$$
$$x=2y.$$
Подставим во второе уравнение:
$$5x+8y=18,$$
$$5\cdot2y+8y=18,$$
$$18y=18,$$
$$y=1,\quad x=2.$$