Задание 6 Параграф 11 ГДЗ Рабочая тетрадь 2 Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

1) f(x) = х^2 — 4х — 12
2) f(x) = -x^2 — 4x — 3
3) f(x) = x^2 — x — 2
4) f(x) = 4x^2 — 8x + 4
5) f(x) = 4 — x — 0,5x^2
6) f(x) = 2x^2 — 4x
7) f(x) = -x^2 + 4x — 6

1. 1) $$f(x)=x^2-4x-12$$

   Ветви параболы направлены вверх. Найдём вершину:

   $$x_0=-\frac{-4}{2}=2,\qquad y_0=f(2)=4-8-12=-16.$$

   Значит, вершина параболы — $$\left(2;\,-16\right)$$, ось симметрии — $$x=2$$.

   Найдём нули функции:

   $$x^2-4x-12=0$$

   $$D=16+48=64,$$

   $$x_{1,2}=\frac{4\pm 8}{2}.$$

   Отсюда $$x_1=-2,\; x_2=6.$$

   Точки пересечения с осями: $$(-2;0),\ (6;0),\ (0;-12).$$

   Следовательно, $$E(f)=[-16;\,+\infty).$$

   Функция убывает на $$(-\infty;\,2]$$ и возрастает на $$[2;\,+\infty).$$

   $$f(x)>0$$ при $$x\in(-\infty;\,-2)\cup(6;\,+\infty),$$

   $$f(x)<0$$ при $$x\in(-2;\,6).$$

2. 2) $$f(x)=-x^2-4x-3$$

   Ветви параболы направлены вниз. Найдём вершину:

   $$x_0=-\frac{-4}{2}=-2,\qquad y_0=f(-2)=-4+8-3=1.$$

   Вершина: $$\left(-2;\,1\right)$$, ось симметрии: $$x=-2$$.

   Найдём нули функции:

   $$-x^2-4x-3=0$$

   $$x^2+4x+3=0$$

   $$\left(x+1\right)\left(x+3\right)=0,$$

   откуда $$x_1=-3,\; x_2=-1.$$

   Точки пересечения с осями: $$(-3;0),\ (-1;0),\ (0;-3).$$

   Следовательно, $$E(f)=(-\infty;\,1].$$

   Функция возрастает на $$(-\infty;\,-2]$$ и убывает на $$[-2;\,+\infty).$$

   $$f(x)>0$$ при $$x\in(-3;\,-1),$$

   $$f(x)<0$$ при $$x\in(-\infty;\,-3)\cup(-1;\,+\infty).$$

3. 3) $$f(x)=x^2-x-2$$

   Ветви параболы направлены вверх. Найдём вершину:

   $$x_0=-\frac{-1}{2}=\frac12,\qquad y_0=f\!\left(\frac12\right)=\frac14-\frac12-2=-\frac94=-2{,}25.$$

   Вершина: $$\left(0{,}5;\,-2{,}25\right)$$, ось симметрии: $$x=0{,}5$$.

   Найдём нули функции:

   $$x^2-x-2=0$$

   $$D=1+8=9,$$

   $$x_{1,2}=\frac{1\pm 3}{2}.$$

   Отсюда $$x_1=-1,\; x_2=2.$$

   Точки пересечения с осями: $$(-1;0),\ (2;0),\ (0;-2).$$

   Следовательно, $$E(f)=[-2{,}25;\,+\infty).$$

   Функция убывает на $$(-\infty;\,0{,}5]$$ и возрастает на $$[0{,}5;\,+\infty).$$

   $$f(x)\ge 0$$ при $$x\in(-\infty;\,-1]\cup[2;\,+\infty),$$

   $$f(x)<0$$ при $$x\in(-1;\,2).$$

4. 4) $$f(x)=4x^2-8x+4$$

   Ветви параболы направлены вверх. Найдём вершину:

   $$x_0=-\frac{-8}{2\cdot 4}=1,\qquad y_0=f(1)=4-8+4=0.$$

   Вершина: $$\left(1;\,0\right)$$, ось симметрии: $$x=1$$.

   Преобразуем функцию:

   $$4x^2-8x+4=4(x-1)^2.$$

   Следовательно, график касается оси абсцисс в точке $$\left(1;\,0\right).$$

   $$E(f)=[0;\,+\infty).$$

   Функция убывает на $$(-\infty;\,1]$$ и возрастает на $$[1;\,+\infty).$$

   $$f(x)>0$$ при $$x\in(-\infty;\,1)\cup(1;\,+\infty),$$

   $$f(x)=0$$ при $$x=1.$$

5. 5) $$f(x)=4-x-0{,}5x^2$$

   Ветви параболы направлены вниз. Найдём вершину:

   $$x_0=-\frac{-1}{2\cdot(-0{,}5)}=-1,\qquad y_0=f(-1)=4+1-0{,}5=\frac92=4{,}5.$$

   Вершина: $$\left(-1;\,4{,}5\right)$$, ось симметрии: $$x=-1$$.

   Найдём нули функции:

   $$4-x-0{,}5x^2=0$$

   $$x^2+2x-8=0$$

   $$\left(x+4\right)\left(x-2\right)=0,$$

   откуда $$x_1=-4,\; x_2=2.$$

   Точки пересечения с осями: $$(-4;0),\ (2;0),\ (0;4).$$

   Следовательно, $$E(f)=(-\infty;\,4{,}5].$$

   Функция возрастает на $$(-\infty;\,-1]$$ и убывает на $$[-1;\,+\infty).$$

   $$f(x)>0$$ при $$x\in(-4;\,2),$$

   $$f(x)<0$$ при $$x\in(-\infty;\,-4)\cup(2;\,+\infty).$$

6. 6) $$f(x)=2x^2-4x$$

   Ветви параболы направлены вверх. Найдём вершину:

   $$x_0=-\frac{-4}{2\cdot 2}=1,\qquad y_0=f(1)=2-4=-2.$$

   Вершина: $$\left(1;\,-2\right)$$, ось симметрии: $$x=1$$.

   Преобразуем функцию:

   $$2x^2-4x=2x(x-2).$$

   Нули функции: $$x=0$$ и $$x=2.$$

   Точки пересечения с осями: $$\left(0;0\right),\ \left(2;0\right).$$

   Следовательно, $$E(f)=[-2;\,+\infty).$$

   Функция убывает на $$(-\infty;\,1]$$ и возрастает на $$[1;\,+\infty).$$

   $$f(x)>0$$ при $$x\in(-\infty;\,0)\cup(2;\,+\infty),$$

   $$f(x)<0$$ при $$x\in(0;\,2).$$

7. 7) $$f(x)=-x^2+4x-6$$

   Ветви параболы направлены вниз. Найдём вершину:

   $$x_0=-\frac{4}{2\cdot(-1)}=2,\qquad y_0=f(2)=-4+8-6=-2.$$

   Вершина: $$\left(2;\,-2\right)$$, ось симметрии: $$x=2$$.

   Найдём нули функции:

   $$-x^2+4x-6=0$$

   $$x^2-4x+6=0,$$

   $$D=16-24=-8<0.$$

   Значит, действительных корней нет, график не пересекает ось абсцисс.

   Точка пересечения с осью ординат: $$\left(0;\,-6\right).$$

   Следовательно, $$E(f)=(-\infty;\,-2].$$

   Функция возрастает на $$(-\infty;\,2]$$ и убывает на $$[2;\,+\infty).$$

   $$f(x)<0$$ при всех $$x\in\mathbb{R}.$$

Ответ

1) $$\left(2;\,-16\right),\ (-2;0),\ (6;0),\ (0;-12),\ E(f)=[-16;\,+\infty)$$
2) $$\left(-2;\,1\right),\ (-3;0),\ (-1;0),\ (0;-3),\ E(f)=(-\infty;\,1]$$
3) $$\left(0{,}5;\,-2{,}25\right),\ (-1;0),\ (2;0),\ (0;-2),\ E(f)=[-2{,}25;\,+\infty)$$
4) $$\left(1;\,0\right),\ E(f)=[0;\,+\infty)$$
5) $$\left(-1;\,4{,}5\right),\ (-4;0),\ (2;0),\ (0;4),\ E(f)=(-\infty;\,4{,}5]$$
6) $$\left(1;\,-2\right),\ (0;0),\ (2;0),\ E(f)=[-2;\,+\infty)$$
7) $$\left(2;\,-2\right),\ (0;-6),\ E(f)=(-\infty;\,-2]$$