Задание 5 Параграф 13 ГДЗ Рабочая тетрадь 2 Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

1. Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения: 1) прямой $$y=x+2$$ и окружности $$(x+3)^2+y^2=5$$; 2) окружности $$x^2+y^2=9$$ и параболы $$y=3-x^2$$.

1) Точки пересечения прямой и окружности — это решения системы:

$$\begin{cases} y=x+2,\\ (x+3)^2+y^2=5. \end{cases}$$

Подставим $$y=x+2$$ во второе уравнение:

$$(x+3)^2+(x+2)^2=5$$

$$x^2+6x+9+x^2+4x+4=5$$

$$2x^2+10x+8=0$$

$$x^2+5x+4=0$$

$$(x+4)(x+1)=0$$

Отсюда $$x=-4$$ или $$x=-1$$.

Найдём соответствующие значения $$y$$:

$$y=-4+2=-2,\qquad y=-1+2=1.$$

Следовательно, точки пересечения: $$(-4;\,-2)$$ и $$(-1;\,1)$$.

2) Точки пересечения окружности и параболы — это решения системы:

$$\begin{cases} x^2+y^2=9,\\ y=3-x^2. \end{cases}$$

Подставим $$y=3-x^2$$ в первое уравнение:

$$x^2+(3-x^2)^2=9$$

$$x^2+9-6x^2+x^4=9$$

$$x^4-5x^2=0$$

$$x^2(x^2-5)=0$$

Отсюда $$x=0$$ или $$x=\pm\sqrt{5}$$.

Найдём соответствующие значения $$y$$:

$$x=0 \Rightarrow y=3-0^2=3,$$

$$x=\pm\sqrt{5} \Rightarrow y=3-(\sqrt{5})^2=3-5=-2.$$

Значит, точки пересечения: $$(0;\,3)$$, $$(-\sqrt{5};\,-2)$$ и $$(\sqrt{5};\,-2)$$.

Ответ

1) $$(-4;\,-2)$$ и $$(-1;\,1)$$.

2) $$(0;\,3)$$, $$(-\sqrt{5};\,-2)$$ и $$(\sqrt{5};\,-2)$$.