Задание 5 Параграф 13 ГДЗ Рабочая тетрадь 2 Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

1) прямой у = х + 2 и окружности (х + 3)^2 + y^2 = 5;
2) окружности x^2 + y^2 = 9 и параболы y = 3 — x^2.

1) Точки пересечения прямой и окружности — это решения системы:

$$ \begin{cases} y=x+2,\\ (x+3)^2+y^2=5. \end{cases} $$

Подставим $$y=x+2$$ во второе уравнение:

$$ (x+3)^2+(x+2)^2=5 $$

$$ x^2+6x+9+x^2+4x+4=5 $$

$$ 2x^2+10x+8=0 $$

$$ x^2+5x+4=0 $$

$$ (x+4)(x+1)=0 $$

Отсюда $$x=-4$$ или $$x=-1$$.

Найдём соответствующие значения $$y$$:

$$ y=-4+2=-2,\qquad y=-1+2=1. $$

Следовательно, точки пересечения: $$(-4;\,-2)$$ и $$(-1;\,1)$$.

2) Точки пересечения окружности и параболы — это решения системы:

$$ \begin{cases} x^2+y^2=9,\\ y=3-x^2. \end{cases} $$

Подставим $$y=3-x^2$$ в первое уравнение:

$$ x^2+(3-x^2)^2=9 $$

$$ x^2+9-6x^2+x^4=9 $$

$$ x^4-5x^2=0 $$

$$ x^2(x^2-5)=0 $$

Отсюда $$x=0$$ или $$x=\pm\sqrt{5}$$.

Найдём соответствующие значения $$y$$:

$$ x=0 \Rightarrow y=3-0^2=3, $$

$$ x=\pm\sqrt{5} \Rightarrow y=3-(\sqrt{5})^2=3-5=-2. $$

Значит, точки пересечения: $$ (0;\,3) $$, $$(-\sqrt{5};\,-2)$$ и $$(\sqrt{5};\,-2)$$.

Ответ

1) $$(-4;\,-2)$$ и $$(-1;\,1)$$.

2) $$(0;\,3)$$, $$(-\sqrt{5};\,-2)$$ и $$(\sqrt{5};\,-2)$$.