Задание 4 Параграф 14 ГДЗ Рабочая тетрадь 2 Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Расстояние между двумя пристанями на реке, равное $$45\ \text{км}$$, катер проходит туда и обратно за $$3\ \text{ч}\ 45\ \text{мин}$$, а $$60\ \text{км}$$ по течению реки на $$1\ \text{ч}$$ быстрее, чем $$60\ \text{км}$$ против течения. Найдите собственную скорость катера и скорость течения реки.

Пусть собственная скорость катера равна $$x$$ км/ч, а скорость течения реки — $$y$$ км/ч. Тогда скорость катера по течению равна $$x+y$$ км/ч, а против течения — $$x-y$$ км/ч.

Тогда время движения на 45 км по течению и 45 км против течения равно:

$$\frac{45}{x+y}+\frac{45}{x-y}=3\frac{3}{4}=\frac{15}{4}.$$

А на 60 км по течению и 60 км против течения:

$$\frac{60}{x-y}-\frac{60}{x+y}=1.$$

Составим систему:

$$\begin{cases} \frac{45}{x+y}+\frac{45}{x-y}=\frac{15}{4},\\ \frac{60}{x-y}-\frac{60}{x+y}=1. \end{cases}$$

Умножим первое уравнение на $$4(x+y)(x-y)$$, а второе — на $$(x+y)(x-y)$$:

$$\begin{cases} 180(x-y)+180(x+y)=15(x+y)(x-y),\\ 60(x+y)-60(x-y)=(x+y)(x-y). \end{cases}$$

Упростим:

$$\begin{cases} 360x=15(x^2-y^2),\\ 120y=x^2-y^2. \end{cases}$$

Из второго уравнения:

$$x^2-y^2=120y.$$

Подставим в первое:

$$360x=15\cdot 120y,$$

$$360x=1800y,$$

$$x=5y.$$

Подставим в уравнение $$x^2-y^2=120y$$:

$$(5y)^2-y^2=120y$$

$$24y^2=120y$$

$$24y(y-5)=0.$$

Так как $$y=0$$ не подходит, получаем $$y=5$$. Тогда

$$x=5y=25.$$

Ответ

$$25$$ км/ч и $$5$$ км/ч.