Задание 4 Параграф 13 ГДЗ Рабочая тетрадь 2 Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)
1) {y — 2x = 6; x^2 — xy + y^2 = 12};
2) {x + y = 2; 2x^2 + xy + y^2 = 8};
3) {2x — 3y = 13; 3x^2 + xy = 6};
4) {x — 2y = 4; x^2 + 2xy + 2y^2 — 3y = 5}.
Из первого уравнения выразим $$y$$:
$$y=2x+6.$$
Подставим во второе уравнение:
$$ x^2-x(2x+6)+(2x+6)^2=12. $$
Получаем:
$$ x^2-2x^2-6x+4x^2+24x+36-12=0, $$
$$ 3x^2+18x+24=0, $$
$$ x^2+6x+8=0. $$
По теореме Виета:
$$x_1=-4,\quad x_2=-2.$$
Тогда
$$ y_1=2\cdot(-4)+6=-2,\qquad y_2=2\cdot(-2)+6=2. $$Ответ: $$(-4;\,-2)$$ и $$(-2;\,2)$$.
Из первого уравнения выразим $$y$$:
$$y=2-x.$$
Подставим во второе уравнение:
$$ 2x^2+x(2-x)+(2-x)^2=8. $$
Тогда
$$ 2x^2+2x-x^2+4-4x+x^2-8=0, $$
$$ 2x^2-2x-4=0, $$
$$ x^2-x-2=0. $$
По теореме Виета:
$$x_1=-1,\quad x_2=2.$$
Тогда
$$ y_1=2-(-1)=3,\qquad y_2=2-2=0. $$Ответ: $$(-1;\,3)$$ и $$ (2;\,0)$$.
Из первого уравнения выразим $$y$$:
$$ y=\frac{2x-13}{3}. $$
Подставим во второе уравнение:
$$ 3x^2+x\cdot \frac{2x-13}{3}=6. $$
Умножим на $$3$$:
$$ 9x^2+2x^2-13x-18=0, $$
$$ 11x^2-13x-18=0. $$
Найдём корни:
$$ D=(-13)^2-4\cdot 11\cdot(-18)=169+792=961, $$
$$ x_{1,2}=\frac{13\pm 31}{22}. $$
Отсюда
$$ x_1=-\frac{9}{11},\qquad x_2=2. $$
Найдём соответствующие значения $$y$$:
$$ y_1=\frac{2\cdot\left(-\frac{9}{11}\right)-13}{3} =\frac{-\frac{18}{11}-\frac{143}{11}}{3} =-\frac{161}{33}, $$
$$ y_2=\frac{2\cdot 2-13}{3}=-3. $$Ответ: $$\left(-\frac{9}{11};\,-\frac{161}{33}\right)$$ и $$ (2;\,-3)$$.
Из первого уравнения выразим $$x$$:
$$x=2y+4.$$
Подставим во второе уравнение:
$$ (2y+4)^2+2y(2y+4)+2y^2-3y=5. $$
Получаем:
$$ 4y^2+16y+16+4y^2+8y+2y^2-3y-5=0, $$
$$ 10y^2+21y+11=0. $$
Дискриминант:
$$ D=21^2-4\cdot 10\cdot 11=441-440=1. $$
Тогда
$$ y_{1,2}=\frac{-21\pm 1}{20}. $$
Значит,
$$ y_1=-1,\qquad y_2=-\frac{11}{10}. $$
Найдём $$x$$:
$$ x_1=2\cdot(-1)+4=2, $$
$$ x_2=2\cdot\left(-\frac{11}{10}\right)+4=\frac{9}{5}. $$Ответ: $$ (2;\,-1)$$ и $$\left(\frac{9}{5};\,-\frac{11}{10}\right)$$.
