Задание 4 Параграф 13 ГДЗ Рабочая тетрадь 2 Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)
Решите систему уравнений:
1) $$\begin{cases} y-2x=6,\\ x^2-xy+y^2=12; \end{cases}$$
2) $$\begin{cases} x+y=2,\\ 2x^2+xy+y^2=8; \end{cases}$$
3) $$\begin{cases} 2x-3y=13,\\ 3x^2+xy=6; \end{cases}$$
4) $$\begin{cases} x-2y=4,\\ x^2+2xy+2y^2-3y=5. \end{cases}$$
Из первого уравнения выразим $$y$$:
$$y=2x+6.$$
Подставим во второе уравнение:
$$x^2-x(2x+6)+(2x+6)^2=12.$$
Получаем:
$$x^2-2x^2-6x+4x^2+24x+36-12=0,$$
$$3x^2+18x+24=0,$$
$$x^2+6x+8=0.$$
По теореме Виета:
$$x_1=-4,\quad x_2=-2.$$
Тогда
$$y_1=2\cdot(-4)+6=-2,\qquad y_2=2\cdot(-2)+6=2.$$Ответ: $$(-4;\,-2)$$ и $$(-2;\,2)$$.
Из первого уравнения выразим $$y$$:
$$y=2-x.$$
Подставим во второе уравнение:
$$2x^2+x(2-x)+(2-x)^2=8.$$
Тогда
$$2x^2+2x-x^2+4-4x+x^2-8=0,$$
$$2x^2-2x-4=0,$$
$$x^2-x-2=0.$$
По теореме Виета:
$$x_1=-1,\quad x_2=2.$$
Тогда
$$y_1=2-(-1)=3,\qquad y_2=2-2=0.$$Ответ: $$(-1;\,3)$$ и $$(2;\,0)$$.
Из первого уравнения выразим $$y$$:
$$y=\frac{2x-13}{3}.$$
Подставим во второе уравнение:
$$3x^2+x\cdot \frac{2x-13}{3}=6.$$
Умножим на $$3$$:
$$9x^2+2x^2-13x-18=0,$$
$$11x^2-13x-18=0.$$
Найдём корни:
$$D=(-13)^2-4\cdot 11\cdot(-18)=169+792=961,$$
$$x_{1,2}=\frac{13\pm 31}{22}.$$
Отсюда
$$x_1=-\frac{9}{11},\qquad x_2=2.$$
Найдём соответствующие значения $$y$$:
$$y_1=\frac{2\cdot\left(-\frac{9}{11}\right)-13}{3} =\frac{-\frac{18}{11}-\frac{143}{11}}{3} =-\frac{161}{33},$$
$$y_2=\frac{2\cdot 2-13}{3}=-3.$$Ответ: $$\left(-\frac{9}{11};\,-\frac{161}{33}\right)$$ и $$(2;\,-3)$$.
Из первого уравнения выразим $$x$$:
$$x=2y+4.$$
Подставим во второе уравнение:
$$(2y+4)^2+2y(2y+4)+2y^2-3y=5.$$
Получаем:
$$4y^2+16y+16+4y^2+8y+2y^2-3y-5=0,$$
$$10y^2+21y+11=0.$$
Дискриминант:
$$D=21^2-4\cdot 10\cdot 11=441-440=1.$$
Тогда
$$y_{1,2}=\frac{-21\pm 1}{20}.$$
Значит,
$$y_1=-1,\qquad y_2=-\frac{11}{10}.$$
Найдём $$x$$:
$$x_1=2\cdot(-1)+4=2,$$
$$x_2=2\cdot\left(-\frac{11}{10}\right)+4=\frac{9}{5}.$$Ответ: $$(2;\,-1)$$ и $$\left(\frac{9}{5};\,-\frac{11}{10}\right)$$.
