Задание 30 Параграф 6 ГДЗ Рабочая тетрадь 1 Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Просвещение: 30. При каких значениях а один из корней уравнения 4x^2 — 2(3а + 4)х + 2а^2 + 9а — 5 = 0 меньше -3, а другой — больше 4?

Подробный ответ

Рассмотрим уравнение

$$4x^2-2(3a+4)x+2a^2+9a-5=0.$$

Найдём его корни по формуле:

$$D=\bigl(2(3a+4)\bigr)^2-4\cdot 4\cdot(2a^2+9a-5).$$

$$D=(6a+8)^2-16(2a^2+9a-5)=36a^2+96a+64-32a^2-144a+80=(2a-12)^2.$$

Тогда

$$x_1=\frac{2(3a+4)+\sqrt{(2a-12)^2}}{2\cdot 4}=\frac{6a+8+2a-12}{8}=\frac{8a-4}{8}=a-\frac12,$$

$$x_2=\frac{2(3a+4)-\sqrt{(2a-12)^2}}{2\cdot 4}=\frac{6a+8-2a+12}{8}=\frac{4a+20}{8}=\frac a2+\frac52.$$

По условию один корень меньше $$-3$$, а другой больше $$4$$. Возможны два случая:

$$ \begin{cases} a-\frac12<-3,\\ \frac a2+\frac52>4 \end{cases} \quad \text{или} \quad \begin{cases} a-\frac12>4,\\ \frac a2+\frac52<-3 \end{cases} $$

Решим первую систему:

$$a<-\frac52,$$

$$\frac a2>\frac32 \Rightarrow a>3.$$

Получаем противоречие, значит решений нет.

Решим вторую систему:

$$a>\frac92,$$

$$\frac a2<-\frac{11}{2}\Rightarrow a<-11.$$

Снова противоречие, значит решений нет.