Задание 30 Параграф 6 ГДЗ Рабочая тетрадь 1 Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

При каких значениях $$a$$ один из корней уравнения $$4x^2 — 2(3a + 4)x + 2a^2 + 9a — 5 = 0$$ меньше $$-3$$, а другой — больше $$4$$?

Рассмотрим уравнение

$$4x^2-2(3a+4)x+2a^2+9a-5=0.$$

Найдём его корни по формуле:

$$D=\bigl(2(3a+4)\bigr)^2-4\cdot 4\cdot(2a^2+9a-5).$$

$$D=(6a+8)^2-16(2a^2+9a-5)=36a^2+96a+64-32a^2-144a+80=(2a-12)^2.$$

Тогда

$$x_1=\frac{2(3a+4)+\sqrt{(2a-12)^2}}{2\cdot 4}=\frac{6a+8+2a-12}{8}=\frac{8a-4}{8}=a-\frac12,$$

$$x_2=\frac{2(3a+4)-\sqrt{(2a-12)^2}}{2\cdot 4}=\frac{6a+8-2a+12}{8}=\frac{4a+20}{8}=\frac a2+\frac52.$$

По условию один корень меньше $$-3$$, а другой больше $$4$$. Возможны два случая:

$$\begin{cases} a-\frac12<-3,\\ \frac a2+\frac52>4 \end{cases} \quad \text{или} \quad \begin{cases} a-\frac12>4,\\ \frac a2+\frac52<-3 \end{cases}$$

Решим первую систему:

$$a<-\frac52,$$

$$\frac a2>\frac32 \Rightarrow a>3.$$

Получаем противоречие, значит решений нет.

Решим вторую систему:

$$a>\frac92,$$

$$\frac a2<-\frac{11}{2}\Rightarrow a<-11.$$

Снова противоречие, значит решений нет.

Ответ

Таких значений $$a$$ не существует.