Задание 29 Параграф 6 ГДЗ Рабочая тетрадь 1 Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Просвещение: 29. При каких значениях а корни уравнения х^2 — (а + 1)х — 2а^2 + 11а — 12 = 0 принадлежат промежутку [-5; 7]? *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 9 merzlyak_wb9 6-29 95

Рассмотрим уравнение

$$x^2-(a+1)x-2a^2+11a-12=0.$$

Найдём дискриминант:

$$ D=(a+1)^2-4\cdot(-2a^2+11a-12) $$

$$ D=a^2+2a+1+8a^2-44a+48=9a^2-42a+49=(3a-7)^2. $$

Тогда корни уравнения:

$$ x_1=\frac{a+1+\sqrt{(3a-7)^2}}{2}=\frac{a+1+3a-7}{2}=2a-3, $$

$$ x_2=\frac{a+1-\sqrt{(3a-7)^2}}{2}=\frac{a+1-3a+7}{2}=4-a. $$

По условию оба корня должны принадлежать промежутку $$[-5;7]$$. Составим систему неравенств:

$$ \begin{cases} -5 \le 2a-3 \le 7,\\ -5 \le 4-a \le 7. \end{cases} $$

Решим её:

$$ \begin{cases} -2 \le 2a \le 10,\\ -9 \le -a \le 3. \end{cases} $$

Отсюда

$$ \begin{cases} -1 \le a \le 5,\\ -3 \le a \le 9. \end{cases} $$

Пересечение этих промежутков:

$$-1 \le a \le 5.$$

Ответ

$$[-1;5]$$