Задание 29 Параграф 6 ГДЗ Рабочая тетрадь 1 Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

При каких значениях $$a$$ корни уравнения $$x^2 — (a + 1)x — 2a^2 + 11a — 12 = 0$$ принадлежат промежутку $$[-5; 7]$$?

Рассмотрим уравнение

$$x^2-(a+1)x-2a^2+11a-12=0.$$

Найдём дискриминант:

$$D=(a+1)^2-4\cdot(-2a^2+11a-12)$$

$$D=a^2+2a+1+8a^2-44a+48=9a^2-42a+49=(3a-7)^2.$$

Тогда корни уравнения:

$$x_1=\frac{a+1+\sqrt{(3a-7)^2}}{2}=\frac{a+1+3a-7}{2}=2a-3,$$

$$x_2=\frac{a+1-\sqrt{(3a-7)^2}}{2}=\frac{a+1-3a+7}{2}=4-a.$$

По условию оба корня должны принадлежать промежутку $$[-5;7]$$. Составим систему неравенств:

$$\begin{cases} -5 \le 2a-3 \le 7,\\ -5 \le 4-a \le 7. \end{cases}$$

Решим её:

$$\begin{cases} -2 \le 2a \le 10,\\ -9 \le -a \le 3. \end{cases}$$

Отсюда

$$\begin{cases} -1 \le a \le 5,\\ -3 \le a \le 9. \end{cases}$$

Пересечение этих промежутков:

$$-1 \le a \le 5.$$

Ответ

$$[-1;5]$$