Задание 26 Параграф 11 ГДЗ Рабочая тетрадь 2 Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Задача

Постройте график функции $$y=5|x-2|-x^2+5x-6$$. Определите, при каких значениях $$m$$ прямая $$y=m$$ имеет с графиком ровно три общие точки.

Подробный ответ

Рассмотрим функцию

$$y=5|x-2|-x^2+5x-6.$$

Разобьём её на два случая.

1) При $$x\ge 2$$ имеем $$|x-2|=x-2$$, тогда

$$y=5(x-2)-x^2+5x-6=-x^2+10x-16.$$

2) При $$x<2$$ имеем $$|x-2|=2-x$$, тогда

$$y=5(2-x)-x^2+5x-6=-x^2+4.$$

Значит, график функции состоит из двух ветвей:

$$y= \begin{cases} -x^2+4, & x<2,\\ -x^2+10x-16, & x\ge 2. \end{cases}$$

Найдём характерные точки для построения:

при $$x<2$$: $$y=-x^2+4$$, например, $$x=0 \Rightarrow y=4$$, $$x=1 \Rightarrow y=3$$;

при $$x\ge 2$$: $$y=-x^2+10x-16$$, например, $$x=2 \Rightarrow y=0$$, $$x=3 \Rightarrow y=5$$.

Теперь определим, при каких значениях $$m$$ прямая $$y=m$$ имеет с графиком ровно три общие точки.

Для левой ветви $$y=-x^2+4$$ при $$x<2$$ горизонтальная прямая пересекает её:

в двух точках, если $$m<4$$;
в одной точке, если $$m=4$$;
не пересекает, если $$m>4$$.

Для правой ветви $$y=-x^2+10x-16$$ при $$x\ge 2$$ вершина параболы находится в точке $$x=5$$, и её наибольшее значение равно

$$y(5)=-25+50-16=9.$$

Значит, эта ветвь пересекается с прямой $$y=m$$:

в двух точках, если $$0<m<9$$;
в одной точке, если $$m=0$$ или $$m=9$$;
не пересекается, если $$m<0$$ или $$m>9$$.

Чтобы всего было ровно три общие точки, нужно, чтобы одна ветвь дала две точки пересечения, а другая — одну. Это происходит при $$m=0$$ и при $$m=4$$.