Задание 26 Параграф 10 ГДЗ Рабочая тетрадь 1 Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Просвещение: 26. Постройте график функции у = 2 — (x^4 — x^3)/(x^2 — x) и определите, при каких значениях m прямая у = m имеет с графиком ровно две общие точки. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 9 merzlyak_wb9 10-26 95

Подробный ответ

Область определения функции задаётся условием

$$x^2-x\ne 0,$$

откуда

$$x\ne 0,\quad x\ne 1.$$

Упростим выражение:

$$ y=2-\frac{x^4-x^3}{x^2-x} =2-\frac{x^3(x-1)}{x(x-1)} =2-x^2. $$

Но при этом точки $$x=0$$ и $$x=1$$ исключаются из области определения, поэтому график функции $$y=2-x^2$$ нужно изобразить с выколотыми точками:

$$ (0;2),\quad (1;1). $$

Это парабола, ветви направлены вниз, вершина находится в точке $$ (0;2). $$

Теперь рассмотрим пересечения с прямой $$y=m$$. Прямая имеет с графиком ровно две общие точки тогда и только тогда, когда она пересекает параболу в двух точках, не проходя через выколотые точки.

Для параболы $$y=2-x^2$$:

$$2-x^2=m \quad \Rightarrow \quad x^2=2-m.$$

Две различные точки пересечения будут при

$$2-m>0,$$

то есть при

$$m<2.$$

Но нужно исключить случаи, когда одна из точек пересечения совпадает с выколотой точкой:

при $$x=0$$ получаем $$m=2,$$

при $$x=1$$ получаем $$m=1.$$

Значит, при $$m=1$$ прямая проходит через выколотую точку и имеет только одну общую точку с графиком, а при всех остальных $$m<2$$ — две общие точки.

Итак, подходят значения

$$m\in(-\infty;1)\cup(1;2).$$