Задание 26 Параграф 10 ГДЗ Рабочая тетрадь 1 Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Задача

Постройте график функции $$y=2-\frac{x^4-x^3}{x^2-x}$$ и определите, при каких значениях $$m$$ прямая $$y=m$$ имеет с графиком ровно две общие точки.

Подробный ответ

Область определения функции задаётся условием

$$x^2-x\ne 0,$$

откуда

$$x\ne 0,\quad x\ne 1.$$

Упростим выражение:

$$y=2-\frac{x^4-x^3}{x^2-x} =2-\frac{x^3(x-1)}{x(x-1)} =2-x^2.$$

Но при этом точки $$x=0$$ и $$x=1$$ исключаются из области определения, поэтому график функции $$y=2-x^2$$ нужно изобразить с выколотыми точками:

$$(0;2),\quad (1;1).$$

Это парабола, ветви направлены вниз, вершина находится в точке $$(0;2).$$

Теперь рассмотрим пересечения с прямой $$y=m$$. Прямая имеет с графиком ровно две общие точки тогда и только тогда, когда она пересекает параболу в двух точках, не проходя через выколотые точки.

Для параболы $$y=2-x^2$$:

$$2-x^2=m \quad \Rightarrow \quad x^2=2-m.$$

Две различные точки пересечения будут при

$$2-m>0,$$

то есть при

$$m<2.$$

Но нужно исключить случаи, когда одна из точек пересечения совпадает с выколотой точкой:

при $$x=0$$ получаем $$m=2,$$

при $$x=1$$ получаем $$m=1.$$

Значит, при $$m=1$$ прямая проходит через выколотую точку и имеет только одну общую точку с графиком, а при всех остальных $$m<2$$ — две общие точки.

Итак, подходят значения

$$m\in(-\infty;1)\cup(1;2).$$