Задание 25 Параграф 11 ГДЗ Рабочая тетрадь 2 Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

1. Постройте график функции $$y=|x|(x+1)-3x$$. Определите, при каких значениях $$m$$ прямая $$y=m$$ имеет с графиком ровно две общие точки.

Рассмотрим функцию

$$y=|x|(x+1)-3x.$$

Разобьём на случаи.

Если $$x\ge 0,$$ то $$|x|=x,$$ поэтому

$$y=x(x+1)-3x=x^2+x-3x=x^2-2x.$$

Если $$x<0,$$ то $$|x|=-x,$$ поэтому

$$y=-x(x+1)-3x=-x^2-x-3x=-x^2-4x.$$

Значит, график функции задаётся формулой

$$y= \begin{cases} x^2-2x, & x\ge 0,\\ -x^2-4x, & x<0. \end{cases}$$

Найдём, при каких значениях $$m$$ прямая $$y=m$$ имеет с графиком ровно две общие точки.

1) Для ветви $$y=x^2-2x,\ x\ge 0$$ уравнение

$$x^2-2x=m$$

может иметь две точки пересечения с прямой $$y=m$$ только при $$m>-1$$, так как вершина параболы имеет ординату $$-1$$.

2) Для ветви $$y=-x^2-4x,\ x<0$$ уравнение

$$-x^2-4x=m$$

может иметь две точки пересечения с прямой $$y=m$$ только при $$m<4$$, так как вершина этой параболы имеет ординату $$4$$.

По графику видно, что ровно две общие точки прямая $$y=m$$ имеет в двух случаях: при $$m=-1$$ и при $$m=4$$.

Ответ

$$m=-1$$ и $$m=4$$.