Задание 24 Параграф 5 ГДЗ Рабочая тетрадь 1 Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

При каких значениях $$a$$ квадратное уравнение $$\left(a-1\right)x^2-2\left(a+1\right)x+a=0$$ имеет два различных корня?

Чтобы уравнение $$(a-1)x^2-2(a+1)x+a=0$$ было квадратным, нужно, чтобы старший коэффициент был отличен от нуля:

$$a-1\ne 0,\quad a\ne 1.$$

Найдём дискриминант:

$$D=[-2(a+1)]^2-4(a-1)\cdot a$$

$$D=4(a+1)^2-4a(a-1)$$

$$D=4(a^2+2a+1)-4(a^2-a)=4a^2+8a+4-4a^2+4a=12a+4.$$

Квадратное уравнение имеет два различных корня, если $$D>0$$:

$$12a+4>0$$

$$12a>-4$$

$$a>-\frac13.$$

С учётом условия $$a\ne 1$$ получаем:

$$a>-\frac13,\quad a\ne 1.$$

Ответ

$$a>-\frac13,\ a\ne 1.$$