Задание 24 Параграф 11 ГДЗ Рабочая тетрадь 2 Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)
- Постройте график функции $$y=x^2-6|x|+8$$. Какое наибольшее количество общих точек может иметь график данной функции с прямой, параллельной оси абсцисс?
Рассмотрим модуль по частям:
$$y=x^2-6|x|+8= \begin{cases} x^2-6x+8, & x\ge 0,\\ x^2+6x+8, & x<0. \end{cases}$$
Значит, график функции состоит из двух ветвей парабол:
при $$x\ge 0$$ строим график $$y=x^2-6x+8$$;
при $$x<0$$ строим график $$y=x^2+6x+8$$.
Найдём несколько опорных точек:
для $$x\ge 0$$:
$$x=0 \Rightarrow y=8,\qquad x=1 \Rightarrow y=3;$$
для $$x<0$$:
$$x=-1 \Rightarrow y=3,\qquad x=-2 \Rightarrow y=0.$$
Обе ветви симметричны относительно оси $$Oy$$. Наименьшее значение функции равно $$-1$$, оно достигается при $$x=\pm 3$$.
Чтобы найти наибольшее число общих точек с прямой, параллельной оси абсцисс, рассмотрим горизонтальную прямую. Она может пересекать каждую из двух ветвей параболы не более чем в двух точках. Значит, всего таких точек может быть не более четырёх.
Ответ
График состоит из двух ветвей парабол $$y=x^2-6x+8$$ при $$x\ge 0$$ и $$y=x^2+6x+8$$ при $$x<0$$. Наибольшее количество общих точек с прямой, параллельной оси абсцисс, равно $$4$$.
