Задание 24 Параграф 10 ГДЗ Рабочая тетрадь 1 Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

1. Постройте график функции $$y=\frac{(x^2+4)(x+1)}{-1-x}$$ и определите, при каких значениях $$k$$ прямая $$y=kx$$ имеет с графиком ровно одну общую точку.

Упростим заданную функцию:

$$y=\frac{(x^2+4)(x+1)}{-1-x} =\frac{(x^2+4)(x+1)}{-(x+1)} =-(x^2+4)=-x^2-4.$$

При этом $$x\neq -1$$, так как знаменатель не должен обращаться в нуль.

Значит, график функции — парабола $$y=-x^2-4$$ с вершиной в точке $$(0;-4)$$, но с выколотой точкой при $$x=-1$$. Для этой точки:

$$y=-(-1)^2-4=-5,$$

то есть на графике отсутствует точка $$(-1;-5)$$.

Теперь найдём, при каких $$k$$ прямая $$y=kx$$ имеет с графиком ровно одну общую точку.

Решаем уравнение пересечения:

$$-x^2-4=kx$$

$$x^2+kx+4=0.$$

Чтобы была ровно одна общая точка, это квадратное уравнение должно иметь один корень, то есть

$$D=k^2-16=0.$$

Отсюда

$$k^2=16,\qquad k=\pm 4.$$

Проверим, не даёт ли выколотая точка лишних ограничений. При $$k=4$$:

$$x^2+4x+4=0 \Rightarrow (x+2)^2=0 \Rightarrow x=-2,$$

это допустимо. При $$k=-4$$:

$$x^2-4x+4=0 \Rightarrow (x-2)^2=0 \Rightarrow x=2,$$

тоже допустимо. Значит, оба значения подходят.

Ответ

$$k=-4,\; k=4.$$