Задание 24 Параграф 10 ГДЗ Рабочая тетрадь 1 Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Просвещение: 24. Постройте график функции у = ((x^2 + 4)(x + 1))/(-1 — x) и определите, при каких значениях k прямая у = kx имеет с графиком ровно одну общую точку.

Упростим заданную функцию:

$$ y=\frac{(x^2+4)(x+1)}{-1-x} =\frac{(x^2+4)(x+1)}{-(x+1)} =-(x^2+4)=-x^2-4. $$

При этом $$x\neq -1$$, так как знаменатель не должен обращаться в нуль.

Значит, график функции — парабола $$y=-x^2-4$$ с вершиной в точке $$ (0;-4) $$, но с выколотой точкой при $$x=-1$$. Для этой точки:

$$ y=-(-1)^2-4=-5, $$

то есть на графике отсутствует точка $$(-1;-5)$$.

Теперь найдём, при каких $$k$$ прямая $$y=kx$$ имеет с графиком ровно одну общую точку.

Решаем уравнение пересечения:

$$ -x^2-4=kx $$

$$ x^2+kx+4=0. $$

Чтобы была ровно одна общая точка, это квадратное уравнение должно иметь один корень, то есть

$$ D=k^2-16=0. $$

Отсюда

$$ k^2=16,\qquad k=\pm 4. $$

Проверим, не даёт ли выколотая точка лишних ограничений. При $$k=4$$:

$$ x^2+4x+4=0 \Rightarrow (x+2)^2=0 \Rightarrow x=-2, $$

это допустимо. При $$k=-4$$:

$$ x^2-4x+4=0 \Rightarrow (x-2)^2=0 \Rightarrow x=2, $$

тоже допустимо. Значит, оба значения подходят.

Ответ

$$k=-4,\; k=4.$$