Задание 23 Параграф 11 ГДЗ Рабочая тетрадь 2 Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Просвещение: 23. Постройте график функции у = -2х + 4|х| — х^2. Определите, при каких значениях m прямая у = m имеет с графиком ровно три общие точки. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 9 merzlyak_wb9 11-23 95

Рассмотрим функцию

$$y=-2x+4|x|-x^2.$$

Разберём её по случаям.

Если $$x \ge 0,$$ то $$|x|=x,$$ значит

$$y=-2x+4x-x^2=2x-x^2.$$

Если $$x<0,$$ то $$|x|=-x,$$ значит

$$y=-2x-4x-x^2=-6x-x^2.$$

Следовательно,

$$ y= \begin{cases} 2x-x^2, & x \ge 0,\\ -6x-x^2, & x<0. \end{cases} $$

Для построения графика найдём несколько точек.

При $$x \ge 0$$:

$$x=0 \Rightarrow y=0,$$

$$x=1 \Rightarrow y=2-1=1.$$

При $$x<0$$:

$$x=-2 \Rightarrow y=12-4=8,$$

$$x=-1 \Rightarrow y=6-1=5.$$

График состоит из двух ветвей парабол, соединяющихся в точке $$\left(0,0\right).$$

Теперь определим, при каких $$m$$ прямая $$y=m$$ имеет с графиком ровно три общие точки.

Для правой ветви $$y=2x-x^2$$ при $$x \ge 0$$ горизонтальная прямая может пересекать график в двух точках, одной точке или не пересекать его.

Для левой ветви $$y=-6x-x^2$$ при $$x<0$$ аналогично.

По графику видно, что ровно три общие точки получаются при

$$m=0 \quad \text{и} \quad m=1.$$

Ответ

$$m=0,\; m=1.$$