Задание 22 Параграф 11 ГДЗ Рабочая тетрадь 2 Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Задача

Постройте график функции $$y=\begin{cases}x^2-4x+5, & \text{если } x\geqslant 1;\\x+1, & \text{если } x<1.\end{cases}$$ Определите, при каких значениях $$m$$ прямая $$y=m$$ имеет с графиком ровно две общие точки.

Подробный ответ

Функция задана по частям:

$$y= \begin{cases} x^2-4x+5, & x\ge 1,\\ x+1, & x<1. \end{cases}$$

Построим её график.

1) При $$x<1$$ это прямая $$y=x+1$$. Для построения удобно взять точки:

$$x=-2,\ y=-1; \qquad x=0,\ y=1.$$

Точка $$x=1$$ не входит в этот участок, поэтому на графике здесь будет пустая точка.

2) При $$x\ge 1$$ это парабола

$$y=x^2-4x+5=(x-2)^2+1.$$

Её вершина — точка $$(2;1)$$, а при $$x=1$$ получаем $$y=2$$, значит точка $$(1;2)$$ принадлежит графику.

Теперь найдём, при каких $$m$$ прямая $$y=m$$ имеет с графиком ровно две общие точки.

Для левой части $$y=x+1,\ x<1$$:

$$x+1=m \Rightarrow x=m-1.$$

Чтобы точка принадлежала этой части графика, нужно

$$m-1<1 \Rightarrow m<2.$$

Значит, при $$m<2$$ прямая пересекает левую часть графика в одной точке.

Для правой части $$y=(x-2)^2+1,\ x\ge 1$$:

$$(x-2)^2+1=m \Rightarrow (x-2)^2=m-1.$$

Решения существуют при $$m\ge 1$$.

Если $$1<m<2$$, то парабола даёт две точки пересечения, а прямая $$y=x+1$$ — ещё одну. Всего получается три точки.
Если $$m=1$$, то парабола касается прямой в вершине $$(2;1)$$, а левая часть пересечений не даёт. Получается одна точка.
Если $$m=2$$, то правая часть даёт две точки $$x=1$$ и $$x=3$$, но точка $$x=1$$ общая с левой частью графика, поэтому всего остаются две различные точки пересечения: $$(1;2)$$ и $$(3;2)$$.
Если $$m<1$$, пересечений с параболой нет.

Следовательно, ровно две общие точки прямая $$y=m$$ имеет только при $$m=1$$ и $$m=2$$.