Задание 21 Параграф 11 ГДЗ Рабочая тетрадь 2 Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Просвещение: 21. Постройте график функции у = {5/x, если x ? -1; -x^2 + 4x, если x > -1}. Определите, при каких значениях m прямая у = m имеет с графиком ровно три общие точки.

Подробный ответ

Рассмотрим функцию

$$ y= \begin{cases} \dfrac{5}{x}, & x\le -1,\\ -x^2+4x, & x>-1. \end{cases} $$

Построим её график по частям.

1) При $$x\le -1$$ имеем ветвь гиперболы $$y=\dfrac{5}{x}$$. Для построения удобно взять точки:

$$ x=-5 \Rightarrow y=-1,\qquad x=-1 \Rightarrow y=-5. $$

2) При $$x>-1$$ имеем параболу $$y=-x^2+4x$$, ветви которой направлены вниз. Для построения возьмём точки:

$$ x=0 \Rightarrow y=0,\qquad x=1 \Rightarrow y=3. $$

Вершина параболы:

$$ x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{4}{2\cdot(-1)}=2,\qquad y_0=-2^2+4\cdot2=4. $$

Значит, вершина — точка $$\,(2;4)\,.$$

Теперь найдём, при каких $$m$$ прямая $$y=m$$ пересекает график ровно в трёх точках.

Для ветви гиперболы при $$x\le -1$$ значения функции лежат в промежутке $$[-5;0)$$, причём значение $$-5$$ достигается при $$x=-1$$, а $$0$$ не достигается.

Для параболы при $$x>-1$$ значения функции лежат в промежутке $$(-\infty;4]$$, причём при каждом $$m<4$$ прямая пересекает параболу в двух точках, а при $$m=4$$ — в одной.

Чтобы было ровно три общие точки, нужно, чтобы: