Задание 21 Параграф 11 ГДЗ Рабочая тетрадь 2 Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

1. Постройте график функции $$y=\begin{cases}\frac{5}{x},&\text{если }x\leq -1;\\-x^2+4x,&\text{если }x>-1.\end{cases}$$ Определите, при каких значениях $$m$$ прямая $$y=m$$ имеет с графиком ровно три общие точки.

Рассмотрим функцию

$$y= \begin{cases} \dfrac{5}{x}, & x\le -1,\\ -x^2+4x, & x>-1. \end{cases}$$

Построим её график по частям.

1) При $$x\le -1$$ имеем ветвь гиперболы $$y=\dfrac{5}{x}$$. Для построения удобно взять точки:

$$x=-5 \Rightarrow y=-1,\qquad x=-1 \Rightarrow y=-5.$$

2) При $$x>-1$$ имеем параболу $$y=-x^2+4x$$, ветви которой направлены вниз. Для построения возьмём точки:

$$x=0 \Rightarrow y=0,\qquad x=1 \Rightarrow y=3.$$

Вершина параболы:

$$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{4}{2\cdot(-1)}=2,\qquad y_0=-2^2+4\cdot2=4.$$

Значит, вершина — точка $$\,(2;4)\,.$$

Теперь найдём, при каких $$m$$ прямая $$y=m$$ пересекает график ровно в трёх точках.

Для ветви гиперболы при $$x\le -1$$ значения функции лежат в промежутке $$[-5;0)$$, причём значение $$-5$$ достигается при $$x=-1$$, а $$0$$ не достигается.

Для параболы при $$x>-1$$ значения функции лежат в промежутке $$(-\infty;4]$$, причём при каждом $$m<4$$ прямая пересекает параболу в двух точках, а при $$m=4$$ — в одной.

Чтобы было ровно три общие точки, нужно, чтобы:

• прямая пересекала гиперболу в одной точке;
• прямая пересекала параболу в двух точках.

Это происходит при $$-5<m<0$$.

Ответ

$$-5<m<0$$