Задание 21 Параграф 10 ГДЗ Рабочая тетрадь 1 Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

1. Известно, что графики функций $$y=-x^2+p$$ и $$y=-4x+5$$ имеют ровно одну общую точку. Определите координаты этой точки. Постройте графики заданных функций в одной системе координат.

Точки пересечения графиков удовлетворяют уравнению

$$-x^2+p=-4x+5.$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$x^2-4x+(5-p)=0.$$

По условию графики имеют ровно одну общую точку, значит это уравнение должно иметь один корень. Тогда его дискриминант равен нулю:

$$D=(-4)^2-4\cdot 1\cdot(5-p)=16-20+4p=4p-4.$$

$$4p-4=0,$$

$$p=1.$$

Тогда функция имеет вид $$y=-x^2+1.$$

Найдём точку пересечения:

$$-x^2+1=-4x+5,$$

$$x^2-4x+4=0,$$

$$\left(x-2\right)^2=0,$$

$$x=2.$$

Подставим в любое из уравнений:

$$y=-4\cdot 2+5=-3.$$

Значит, общая точка графиков — $$\left(2;\,-3\right).$$

Для построения отметим, что график $$y=-x^2+1$$ — парабола с вершиной $$\left(0;\,1\right)$$, а график $$y=-4x+5$$ — прямая, проходящая через точки $$\left(0;\,5\right)$$ и $$\left(2;\,-3\right).$$

Ответ

$$p=1,$$ общая точка графиков: $$\left(2;\,-3\right).$$