Задание 20 Параграф 11 ГДЗ Рабочая тетрадь 2 Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Постройте график функции $$y=\frac{(x-1)(x^2+7x+10)}{x+2}$$. Определите, при каких значениях $$m$$ прямая $$y=m$$ имеет с графиком ровно одну общую точку.

Упростим функцию:

$$y=\frac{(x-1)(x^2+7x+10)}{x+2}$$

Разложим квадратный трёхчлен на множители:

$$x^2+7x+10=(x+5)(x+2)$$

Тогда

$$y=\frac{(x-1)(x+5)(x+2)}{x+2}=(x-1)(x+5)$$

при $$x\ne -2$$.

Получаем

$$y=(x-1)(x+5)=x^2+4x-5.$$

Это парабола, ветви направлены вверх. Но точка $$x=-2$$ не входит в область определения, поэтому на графике есть выколотая точка:

$$y(-2)=(-2)^2+4\cdot(-2)-5=4-8-5=-9.$$

Значит, график — парабола $$y=x^2+4x-5$$ с выколотой точкой $$(-2;\,-9)$$.

Найдём, при каких $$m$$ прямая $$y=m$$ имеет с графиком ровно одну общую точку.

Для параболы $$y=x^2+4x-5$$ уравнение пересечения с прямой $$y=m$$ имеет вид

$$x^2+4x-5=m.$$

Ровно одна общая точка бывает в двух случаях:

• прямая касается параболы;
• прямая проходит через выколотую точку, а второе пересечение отсутствует из-за исключённого значения $$x=-2$$.

1) Касание параболы:

$$D=4^2-4\cdot 1\cdot(-5-m)=16+20+4m=36+4m.$$

$$D=0 \Rightarrow 36+4m=0 \Rightarrow m=-9.$$

Но при $$m=-9$$ прямая проходит через выколотую точку $$(-2;\,-9)$$, и с графиком остаются две точки пересечения, а не одна.

2) Прямая проходит через выколотую точку:

$$m=-9.$$

Как уже отмечено, это не даёт ровно одну общую точку.

Следовательно, значений $$m$$, при которых прямая $$y=m$$ имеет с графиком ровно одну общую точку, нет.

Ответ

Таких $$m$$ нет.