Задание 20 Параграф 11 ГДЗ Рабочая тетрадь 2 Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Просвещение: 20. Постройте график функции у = ((x — 1)(x^2 + 7х + 10))/(х + 2). Определите, при каких значениях m прямая у = m имеет с графиком ровно одну общую точку.

Упростим функцию:

$$ y=\frac{(x-1)(x^2+7x+10)}{x+2} $$

Разложим квадратный трёхчлен на множители:

$$ x^2+7x+10=(x+5)(x+2) $$

Тогда

$$ y=\frac{(x-1)(x+5)(x+2)}{x+2}=(x-1)(x+5) $$

при $$x\ne -2$$.

Получаем

$$ y=(x-1)(x+5)=x^2+4x-5. $$

Это парабола, ветви направлены вверх. Но точка $$x=-2$$ не входит в область определения, поэтому на графике есть выколотая точка:

$$ y(-2)=(-2)^2+4\cdot(-2)-5=4-8-5=-9. $$

Значит, график — парабола $$y=x^2+4x-5$$ с выколотой точкой $$(-2;\,-9)$$.

Найдём, при каких $$m$$ прямая $$y=m$$ имеет с графиком ровно одну общую точку.

Для параболы $$y=x^2+4x-5$$ уравнение пересечения с прямой $$y=m$$ имеет вид

$$ x^2+4x-5=m. $$

Ровно одна общая точка бывает в двух случаях:

• прямая касается параболы;
• прямая проходит через выколотую точку, а второе пересечение отсутствует из-за исключённого значения $$x=-2$$.

1) Касание параболы:

$$ D=4^2-4\cdot 1\cdot(-5-m)=16+20+4m=36+4m. $$

$$ D=0 \Rightarrow 36+4m=0 \Rightarrow m=-9. $$

Но при $$m=-9$$ прямая проходит через выколотую точку $$(-2;\,-9)$$, и с графиком остаются две точки пересечения, а не одна.

2) Прямая проходит через выколотую точку:

$$ m=-9. $$

Как уже отмечено, это не даёт ровно одну общую точку.

Следовательно, значений $$m$$, при которых прямая $$y=m$$ имеет с графиком ровно одну общую точку, нет.

Ответ

Таких $$m$$ нет.