Задание 2 Параграф 13 ГДЗ Рабочая тетрадь 2 Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Задача

1) {x + y = 5; x^2 — y = 1};
2) {x — y = 4; xy = 12};
3) {x + 2y = 3; xy — 3y = -2};
4) {2x^2 — y^2 = 14; 2x — y = 8}.

Подробный ответ

$$\begin{cases} x+y=5,\\ x^2-y=1 \end{cases}$$
Выразим из первого уравнения $$y=5-x$$ и подставим во второе:
$$x^2-(5-x)=1.$$
Получаем:
$$x^2+x-6=0.$$
Разложим на множители:
$$\left(x+3\right)\left(x-2\right)=0.$$
Тогда $$x=-3$$ или $$x=2$$.
Если $$x=-3$$, то $$y=5-(-3)=8$$.
Если $$x=2$$, то $$y=5-2=3$$.
$$(-3;8),\ (2;3)$$
$$\begin{cases} x-y=4,\\ xy=12 \end{cases}$$
Выразим из первого уравнения $$x=4+y$$ и подставим во второе:
$$\left(4+y\right)y=12.$$
Получаем:
$$y^2+4y-12=0.$$
Разложим на множители:
$$\left(y+6\right)\left(y-2\right)=0.$$
Тогда $$y=-6$$ или $$y=2$$.
Если $$y=-6$$, то $$x=4+(-6)=-2$$.
Если $$y=2$$, то $$x=4+2=6$$.
$$(-2;-6),\ (6;2)$$
$$\begin{cases} x+2y=3,\\ xy-3y=-2 \end{cases}$$
Выразим из первого уравнения $$x=3-2y$$ и подставим во второе:
$$\left(3-2y\right)y-3y=-2.$$
Получаем:
$$3y-2y^2-3y=-2,$$
$$-2y^2=-2,$$
$$y^2=1.$$
Значит, $$y=-1$$ или $$y=1$$.
Если $$y=-1$$, то $$x=3-2\cdot(-1)=5$$.
Если $$y=1$$, то $$x=3-2\cdot1=1$$.
$$\left(5;-1\right),\ \left(1;1\right)$$
$$\begin{cases} 2x^2-y^2=14,\\ 2x-y=8 \end{cases}$$
Выразим из второго уравнения $$y=2x-8$$ и подставим в первое:
$$2x^2-\left(2x-8\right)^2=14.$$
Раскроем скобки:
$$2x^2-\left(4x^2-32x+64\right)=14,$$
$$-2x^2+32x-64=14,$$
$$-2x^2+32x-78=0.$$
Разделим на $$-2$$:
$$x^2-16x+39=0.$$
Разложим на множители:
$$\left(x-3\right)\left(x-13\right)=0.$$
Тогда $$x=3$$ или $$x=13$$.
Если $$x=3$$, то $$y=2\cdot3-8=-2$$.
Если $$x=13$$, то $$y=2\cdot13-8=18$$.
$$\left(3;-2\right),\ \left(13;18\right)$$