Задание 19 Параграф 8 ГДЗ Рабочая тетрадь 1 Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Докажите, что функция $$f(x)=8x-x^2$$ возрастает на промежутке $$(-?;4]$$.

Пусть $$x_1$$ и $$x_2$$ — любые значения аргумента из промежутка $$(-\infty; 4]$$, причём $$x_2 > x_1$$. Рассмотрим разность:

$$f(x_2)-f(x_1)=(8x_2-x_2^2)-(8x_1-x_1^2).$$

Преобразуем:

$$f(x_2)-f(x_1)=8x_2-x_2^2-8x_1+x_1^2 =(x_1^2-x_2^2)-(8x_1-8x_2)$$

$$=(x_1-x_2)(x_1+x_2)-8(x_1-x_2) =(x_1-x_2)(x_1+x_2-8).$$

Так как $$x_1<x_2$$, то $$x_1-x_2<0$$. Кроме того, $$x_1\le 4$$ и $$x_2\le 4$$, значит

$$x_1+x_2\le 8,$$

следовательно,

$$x_1+x_2-8\le 0.$$

При этом для любых различных $$x_1$$ и $$x_2$$ из данного промежутка имеем $$f(x_2)-f(x_1)\ge 0$$, а при $$x_1<x_2$$ и $$x_1+x_2<8$$ получаем $$f(x_2)-f(x_1)>0$$. Значит, функция $$f(x)=8x-x^2$$ возрастает на промежутке $$(-\infty;4]$$.

Ответ

Функция $$f(x)=8x-x^2$$ возрастает на промежутке $$(-\infty;4]$$.