Задание 19 Параграф 12 ГДЗ Рабочая тетрадь 2 Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

1. При каких значениях $$a$$ неравенство $$3x^2+ax-a>0$$ выполняется при всех действительных значениях $$x$$?

Чтобы неравенство $$3x^2+ax-a>0$$ выполнялось при всех действительных значениях $$x$$, квадратный трёхчлен должен быть положительным для любых $$x$$. Так как старший коэффициент $$3>0$$, парабола направлена вверх, значит, она не должна пересекать ось $$x$$.

Следовательно, дискриминант должен быть отрицательным:

$$D<0.$$

Найдём дискриминант уравнения

$$3x^2+ax-a=0.$$

Тогда

$$D=a^2-4\cdot 3\cdot(-a)=a^2+12a.$$

Получаем неравенство:

$$a^2+12a<0.$$

Разложим на множители:

$$a(a+12)<0.$$

Произведение отрицательно между корнями $$a=-12$$ и $$a=0$$, значит,

$$-12<a<0.$$

Ответ

$$a\in(-12;0).$$