Задание 19 Параграф 11 ГДЗ Рабочая тетрадь 2 Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Задача

1) f(x) = (x^3 — 4x^2 + 3x)/x;
2) f(x) = (x^3 + 5x^3 — 6x)/(x-1).

Подробный ответ

$$f(x)=\frac{x^3-4x^2+3x}{x}.$$
Область определения: $$x\ne 0,$$ то есть $$D(f)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty).$$
Упростим выражение:
$$f(x)=\frac{x(x^2-4x+3)}{x}=x^2-4x+3.$$
Значит, график функции — парабола $$y=x^2-4x+3$$ с выколотой точкой при $$x=0.$$
Вершина параболы:
$$x_0=\frac{4}{2}=2,\qquad y_0=2^2-4\cdot 2+3=-1.$$
Следовательно, вершина — $$ (2;-1). $$
Нули функции:
$$x^2-4x+3=0$$
$$ (x-1)(x-3)=0,$$
откуда $$x=1$$ и $$x=3.$$
При $$x=0$$ функция не определена, поэтому на графике в точке $$ (0;3) $$ ставим выколотую точку.
$$f(x)=\frac{x^3+5x^3-6x}{x-1}.$$
Область определения: $$x\ne 1,$$ то есть $$D(f)=(-\infty;1)\cup(1;+\infty).$$
Упростим выражение:
$$f(x)=\frac{6x^3-6x}{x-1}=\frac{6x(x^2-1)}{x-1}=\frac{6x(x-1)(x+1)}{x-1}=6x(x+1).$$
Следовательно,
$$f(x)=6x^2+6x,$$
но точка при $$x=1$$ исключается, поэтому на графике параболы $$y=6x^2+6x$$ нужно выколоть точку $$ (1;12). $$
Вершина параболы:
$$x_0=-\frac{6}{2\cdot 6}=-\frac12,$$
$$y_0=6\left(-\frac12\right)^2+6\left(-\frac12\right)=\frac{3}{2}-3=-\frac32.$$
Значит, вершина — $$\left(-\frac12;-\frac32\right).$$
Нули функции:
$$6x(x+1)=0,$$
откуда $$x=0$$ и $$x=-1.$$