Задание 18 Параграф 8 ГДЗ Рабочая тетрадь 1 Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Просвещение: 18. Докажите, что функция f(x) = х^2 + 4х убывает на промежутке (-?; -2]. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 9 merzlyak_wb9 8-18 95

Пусть $$x_1$$ и $$x_2$$ — произвольные значения аргумента из промежутка $$(-\infty;\,-2]$$, причём $$x_2>x_1$$.

Рассмотрим разность:

$$ f(x_2)-f(x_1)=(x_2^2+4x_2)-(x_1^2+4x_1) $$

$$ = x_2^2+4x_2-x_1^2-4x_1 = (x_2^2-x_1^2)+4(x_2-x_1) $$

$$ = (x_2-x_1)(x_2+x_1)+4(x_2-x_1) = (x_2-x_1)(x_2+x_1+4). $$

Так как $$x_1\le -2$$ и $$x_2\le -2$$, то

$$x_2-x_1>0,$$

а также

$$x_2+x_1+4\le -2+(-2)+4=0.$$

При этом, поскольку $$x_2>x_1$$, имеем $$x_2-x_1>0$$, а для любых таких $$x_1$$ и $$x_2$$ выполняется $$x_2+x_1+4<0$$, значит

$$f(x_2)-f(x_1)<0.$$

Следовательно, $$f(x_2)<f(x_1)$$, то есть функция $$f(x)=x^2+4x$$ убывает на промежутке $$(-\infty;\,-2]$$.

Ответ

$$f(x)=x^2+4x$$ убывает на промежутке $$(-\infty;\,-2]$$.