Задание 18 Параграф 12 ГДЗ Рабочая тетрадь 2 Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Решите неравенство:

1. 1) $$\frac{-x^2-5}{21+2x-3x^2}\ ?\ 0$$;
   2) $$(x+3)^2(x^2-49)<0$$;
   3) $$|x|(x^2-13x+42)>0$$;
   4) $$\sqrt{x}(x^2-x-12)<0$$;
   5) $$\sqrt{x}(x^2+2x-24)\ ?\ 0$$;
   6) $$\frac{x^2-11x-12}{(x-6)^2}\ ?\ 0$$.

1. $$\frac{-x^2-5}{21+2x-3x^2}\ge 0.$$
   Числитель $$-x^2-5<0$$ при любом $$x$$, значит дробь неотрицательна тогда и только тогда, когда знаменатель отрицателен: $$21+2x-3x^2<0.$$

   Решим квадратное уравнение:
   $$21+2x-3x^2=0$$
   $$3x^2-2x-21=0$$
   $$D=(-2)^2-4\cdot 3\cdot(-21)=256.$$
   $$x_{1,2}=\frac{2\pm 16}{6},\quad x_1=-\frac73,\quad x_2=3.$$
   Тогда
   $$21+2x-3x^2<0 \text{ при } x\in(-\infty;-\tfrac73)\cup(3;+\infty).$$

2. $$(x+3)^2(x^2-49)<0.$$ Так как $$(x+3)^2\ge 0$$ и равно нулю только при $$x=-3$$, то произведение будет отрицательным, если $$x\ne -3,\quad x^2-49<0.$$

   $$x^2-49<0 \iff -7<x<7.$$ С учётом $$x\ne -3$$ получаем: $$x\in(-7;-3)\cup(-3;7).$$

3. $$|x|(x^2-13x+42)>0.$$
   Так как $$|x|>0$$ при $$x\ne 0$$, то нужно, чтобы
   $$x\ne 0,\quad x^2-13x+42>0.$$

   $$x^2-13x+42=(x-6)(x-7).$$
   Тогда
   $$x^2-13x+42>0 \iff x\in(-\infty;6)\cup(7;+\infty).$$
   С учётом $$x\ne 0$$:
   $$x\in(-\infty;0)\cup(0;6)\cup(7;+\infty).$$

4. $$\sqrt{x}(x^2-x-12)<0.$$
   Область определения: $$x\ge 0$$. При этом $$\sqrt{x}\ge 0$$, поэтому произведение будет отрицательным, если
   $$x>0,\quad x^2-x-12<0.$$

   $$x^2-x-12=(x-4)(x+3).$$
   Тогда
   $$x^2-x-12<0 \iff x\in(-3;4).$$
   С учётом $$x>0$$ получаем:
   $$x\in(0;4).$$

5. $$\sqrt{x}(x^2+2x-24)\ge 0.$$
   Область определения: $$x\ge 0$$. Так как $$\sqrt{x}\ge 0$$, то достаточно, чтобы
   $$x^2+2x-24\ge 0.$$

   $$x^2+2x-24=(x+6)(x-4).$$
   Тогда
   $$x^2+2x-24\ge 0 \iff x\in(-\infty;-6]\cup[4;+\infty).$$
   С учётом $$x\ge 0$$:
   $$x\in[4;+\infty).$$

6. $$\frac{x^2-11x-12}{(x-6)^2}\le 0.$$
   Так как $$(x-6)^2>0$$ при $$x\ne 6$$, то неравенство равносильно системе:
   $$x\ne 6,\quad x^2-11x-12\le 0.$$

   $$x^2-11x-12=(x-12)(x+1).$$
   Тогда
   $$x^2-11x-12\le 0 \iff x\in[-1;12].$$
   Исключая $$x=6$$, получаем:
   $$x\in[-1;6)\cup(6;12].$$

Ответ

1) $$(-\infty;-\tfrac73)\cup(3;+\infty)$$;
2) $$(-7;-3)\cup(-3;7)$$;
3) $$(-\infty;0)\cup(0;6)\cup(7;+\infty)$$;
4) $$(0;4)$$;
5) $$[4;+\infty)$$;
6) $$[-1;6)\cup(6;12]$$.