Задание 18 Параграф 10 ГДЗ Рабочая тетрадь 1 Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

При каких значениях $$c$$ областью значений функции $$y=0{,}4(x+5)^2+c^2-6c+3$$ является промежуток $$[-2;+\infty)$$?

Функция

$$y=0{,}4(x+5)^2+c^2-6c+3$$

задаёт параболу, ветви которой направлены вверх. Значит, её наименьшее значение достигается в вершине и равно

$$y_{\min}=c^2-6c+3.$$

По условию область значений функции — промежуток $$[-2;+\infty),$$ значит, минимальное значение функции должно быть равно $$-2.$$ Тогда

$$c^2-6c+3=-2$$

$$c^2-6c+5=0.$$

Решим квадратное уравнение:

$$D=36-4\cdot 5=16,$$

$$c_{1,2}=\frac{6\pm\sqrt{16}}{2}=\frac{6\pm 4}{2}.$$

Получаем:

$$c_1=1,\qquad c_2=5.$$

Ответ

$$c=1 \text{ или } c=5.$$