Задание 17 Параграф 23 ГДЗ Рабочая тетрадь 2 Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Просвещение: 17. Какое наименьшее количество последовательных чётных натуральных чисел, начиная с 2, можно сложить, чтобы получившаяся сумма была больше 342? *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 9 merzlyak_wb9 23-17 95

Подробный ответ

Последовательные чётные натуральные числа образуют арифметическую прогрессию, где

$$a_1=2,\quad d=2.$$

Сумма первых $$n$$ членов арифметической прогрессии:

$$S_n=\frac{2a_1+d(n-1)}{2}\cdot n.$$

Подставим значения:

$$S_n=\frac{2\cdot 2+2(n-1)}{2}\cdot n=\frac{4+2n-2}{2}\cdot n=\frac{2n+2}{2}\cdot n=n(n+1).$$

Нужно, чтобы сумма была больше $$342$$:

$$n(n+1)>342.$$

Решим уравнение, соответствующее границе:

$$n^2+n-342=0.$$

Найдём корни:

$$D=1+4\cdot 342=1369,$$

$$\sqrt{D}=37,$$

$$n_1=\frac{-1-37}{2}=-19,\qquad n_2=\frac{-1+37}{2}=18.$$

Так как парабола $$y=n^2+n-342$$ направлена вверх, то неравенство $$n^2+n-342>0$$ выполняется при $$n<-19$$ или $$n>18$$. Поскольку $$n$$ — натуральное число, получаем наименьшее значение:

$$n=19.$$

Проверка: $$19\cdot 20=380>342.$$